4. Резервирование в технических системах Типовая задача с решением

Резервирование является одним из способов повышения надежности технических систем. Обычно рассматриваются следующие виды резерва:

• нагруженный или горячий резерв;

• ненагруженный или холодный резерв;

• облегченный резерв.

Возможная схема эксплуатации системы с резервированием показана на рис. 4.1. Каждый отказавший элемент поступает в ремонтное устройство, содержащее r ремонтных единиц, любая из которых может восстанавливать один элемент. Если все ремонтные места заняты, то элемент ставится в очередь. Система эксплуатируется исправно, если число рабочих элементов не меньше j (j £ n).

Рис. 4.1. Схема эксплуатации системы с резервированием

Вероятность того, что система находится в состоянии k (в системе отказало k элементов), определяется как

p_k = где k = 1...(N – j). (4.1)

Входящая в выражение (4.1) вероятность р₀ определяется следующим образом:

, (4.2)

Интенсивности отказа и восстановления системы, находящейся в k-м состоянии, определяются по выражениям:

(4.3)

(4.4)

В системе эксплуатируются 4 рабочих элемента (n = 4), 2 элемента, находящихся в горячем резерве (m = 2), и 1 элемент – в облегченном резерве (ненагруженный резерв отсутствует). Интенсивности отказов элементов, находящихся в рабочем режиме и в режиме нагруженного горячего резерва, составляют l = 0.50 1/ч, в режиме облегченного резерва = 0.25 1/ч. Число ремонтных единиц r = 2. Интенсивность потока восстановления m = 1 1/ч. Определить вероятность эксплуатации системы при k отказавших элементах, математическое ожидание числа отказавших элементов, а также вероятность сохранения работоспособности системы (система выполняет свои функции, если в ней эксплуатируется не менее 3 рабочих элементов). Сравнить полученные результаты с результатами в системе, содержащей 4 ремонтные единицы (r = 4).

Решение

Интенсивности потоков отказов системы, находящейся в k-м состоянии, будут: l₀ = (4 + 2)l + = 3.25 1 1/ч, В случае 2 ремонтных единиц интенсивности потоков восстановления системы, находящейся в k-м состоянии, определятся как 1/ч, m_k = 2m (k = 2...7).

Вероятности эксплуатации системы при k отказавших элементах согласно (4.1) и (4.2) будут: р₀ = 3.41647·10^–2, р₁ = 1.1088158·10^–1, р₂ = = 1.6632238·10^–1, р₃ = р₄ = 2.0790297·10^–1, р₅ = 1.5592723·10^–1, р₆ = = 7.79963514·10^–2, р₇ = 3.8901808·10^–2. Математическое ожидание числа отказавших элементов составляет М[k] = = 3.419. Вероятность сохранения работоспособности системы отвечает эксплуатации не менее 3 элементов: Р = р₀ + р₁ + р₂ + р₃ + р₄ = 0.727.

В случае, если число ремонтных единиц составляет r = 4, интенсивности потоков восстановления будут: (k = 1...4), m₅ = 4!·4, m₆ = 4!·4², m₇ = 4!·4³. При этом вероятности р_k определятся как: р₀ = = 0.0640504, р₁ = 2.0816367·10^–1, р₂ = 3.122455·10^–1, р₃ = 2.6020459·10^–1, р₄ = 1.3010229·10^–1, р₅ = 9.9871956·10^–3, р₆ = 1.219709·10^–2, р₇ = = 3.0492725·10^–3. При этих значениях вероятностей p_k M[k] = 2.278, P = = p₀ + p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 0.975.

Таким образом, увеличение числа ремонтных единиц с двух до четырех привело к уменьшению математического ожидания числа отказавших элементов с 3.419 до 2.278 и к увеличению вероятности сохранения работоспособности системы с 0.727 до 0.975.