- •4. Законы сохранения
- •4.1.Сохраняющиеся величины
- •4.2.Кинетическая энергия. Работа. Мощность.
- •4.3. Несколько примеров на вычисление работы.
- •Работа упругой силы
- •2) Работа гравитационной (или кулоновской) силы
- •Работа однородной силы тяжести.
- •4.3.Потенциальное поле сил. Консервативные силы.
- •4.4. Потенциальная энергия во внешнем поле сил.
- •4.5. Потенциальная энергия взаимодействия.
- •4.6. Закон сохранения энергии
- •4.7.Закон сохранения импульса
- •4.8. Соударение двух тел.
- •4.9. Закон сохранения момента импульса.
4.4. Потенциальная энергия во внешнем поле сил.
Из выражения (4.9) следует, что работа равна приращению потенциальной функции, и эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы, как показывает (4.5).
Таким образом,
. (4.11)
Перейдем от функции к функции , связанной с соотношением
. (4.12)
Тогда из (4.11) получаем: , или .
Полученный результат означает, что величина для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной, т.е. является интегралом движения.
Функция называется потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил.
Таким образом, потенциальная энергия
характеризует взаимодействие частицы с полем сил
зависит от положения частицы в этом поле, т.е. от координат.
Величину , равную сумме кинетической и потенциальной энергии, называют полной механической энергией частицы.
Из выражения (4.9) с учетом (4.12) получаем:
- работа, совершаемая над частицей силами консервативного поля, равна убыли потенциальной энергии частицы, т.е. работа совершается за счет запаса потенциальной энергии.
Выражение (4.7) с учетом (4.12) принимает вид:
– сила, действующая на частицу в стационарном поле сил, равна градиенту потенциальной энергии частицы в этом поле, взятому с обратным знаком.
Пусть на частицу, кроме сил стационарного потенциального поля, действует также неконсервативная сила .
Т огда при переходе частицы из точки 1 в точку 2 над ней будет совершаться работа ,где - работа неконсервативной силы.
Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Тогда:
.
Суммарная работа всех приложенных к частице сил идет на приращение ее кинетической энергии:
, или
- работа неконсервативных сил затрачивается на приращение полной механической энергии частицы.
Потенциальная энергия, как и потенциальная функция, определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Однако, это не имеет значения, так как во все функции входит либо разность значений потенциальной энергии, либо ее производные. В каждой конкретной задаче выбирается начало отсчета потенциальной энергии, от которого ведут расчет энергии в других положениях. Поэтому может иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Конкретный вид функции зависит от характера силового поля.
В поле тяжести , где отсчитывается от произвольного уровня.
Рассмотрим систему, состоящую из невзаимодействующих между собой частиц, находящихся в поле консервативных сил.
Каждая из частиц обладает кинетической и потенциальной энергией номер частицы, тогда для каждой частицы можно записать:
Просуммировав эти выражения для всех частиц, получаем:
- полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.
4.5. Потенциальная энергия взаимодействия.
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц (рис.4.7).
В ведем вектор , где и - радиус-векторы частиц. Расстояние между частицами равно модулю этого вектора.
Будем считать, что силы взаимодействия частиц и зависят только от расстояния между ними, и направлены вдоль прямой, соединяющей частицы:
, (4.13)
г де - некоторая функция , - орт вектора (рис.4.8).
По третьему закону Ньютона = .
Уравнения движения частиц .
Умножим первое уравнение на , второе – на и сложим:
. (4.14)
Левая часть этого выражения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время , а правая часть – работу внутренних сил за то же время:
.
Подставив в это выражение формулу (4.13), получаем .
Из рис.4.7 видно, что скалярное произведение равно приращению расстояния между частицами.
Тогда .
Выражение есть приращение некоторой функции от :
.
Следовательно, и выражение (4.14) можно представить в виде:
.
или таким образом, величина для замкнутой системы сохраняется.
Функция представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она
зависит от расстояния между частицами.
р абота внутренних сил
Т.е. не зависит от путей, по которым перемещались частицы, а определяется только начальными и конечными расстояниями между частицами.
Таким образом, силы взаимодействия вида (4.13) являются консервативными.