4.3. Несколько примеров на вычисление работы.

1. Работа упругой силы

Работа упругой силы ,

где — радиус-вектор частицы М относительно точки О (рис. 4.3, а).

Переместим частицу М_, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2.

Найдем сначала элементарную работу силы F на элементарном перемещении dr:

Скалярное произведение где ( )_r — проекция на вектор .

Эта проекция равна dr — приращению модуля вектора . Поэтому и

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2:

2) Работа гравитационной (или кулоновской) силы

Пусть в точке О (рис. 4.3, б) находится неподвижный силовой центр — материальная точка, действующая на частицу М с силой F, которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействий может быть представлена в виде

где — соответствующая постоянная или ,

r — расстояние от точки О до частицы М,

е_r — орт радиуса-вектора .

Элементарная работа этой силы на перемещение

Скалярное произведение

где ( )_r — проекция на вектор . Эта проекция равна dr — приращению модуля вектора . Поэтому и

поэтому

Работа этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2

Работа однородной силы тяжести.

Запишем эту силу в виде , где — орт вертикальной оси Z, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4).

Элементарная работа силы тяжести на перемещении :

Скалярное произведение , где — проекция на орт , равная dz — приращению координаты z. Поэтому и

Работа данной силы на всем пути от точки 1 до точки

(4.5)

Рассмотренные силы интересны тем, что их работа, как видно из (4.3)-(4.5),

• не зависит от формы пути между точками 1 и 2,

• зависит только от положения этих точек.

Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам.

Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы пути между ними.

4.3.Потенциальное поле сил. Консервативные силы.

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил.

Например,

• вблизи поверхности Земли частица находится в поле силы тяжести.

• В электрическом поле неподвижного точечного заряда на заряженную частицу действует поле, характерное тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд ), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра: . Такое поле называется центральным (рис.4.3).

Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению, поле называется однородным.

Силовое поле, которое можно описать с помощью функции такой, что

(4.6)

называется потенциальным.

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом.

Если поле не изменяется со временем, оно называется стационарным, в этом случае .

Добавление к функции произвольной постоянной величины не изменяет значений , вычисляемых по формулам (4.6) . Поэтому потенциальная функция определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Однако при фиксированном значении этой постоянной становится однозначной функцией координат и времени.

Вектор с компонентами , где - скалярная функция координат, называется градиентом функции и обозначается либо

( называется оператором набла, читается: «набла фи» или «градиент фи»).

Из определения градиента следует, что ,

поэтому в случае потенциального силового поля имеем:

. (4.7)

Работа силы, удовлетворяющей условию (4.7), равна

, (4.8)

т.е. представляет собой полный дифференциал функции .

Проинтегрировав выражение (4.8) по некоторой траектории от точки 1 до точки 2, получаем:

. (4.9)

Форма траектории, по которой осуществлялось интегрирование, была совершенно произвольной.

Таким образом, работа, совершаемая над частицей силами стационарного потенциального поля,

• не зависит от пути, по которому двигалась частица,

• определяется только начальным и конечным положениями частицы в пространстве.

• работа таких сил на замкнутом пути равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое, называются консервативными. Следовательно, силы, действующие на частицу в стационарном потенциальном поле, являются консервативными.

Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю.

Ч тобы доказать это,

разобьем произвольный замкнутый путь (рис.4.4) на две части:

- путь 1, по которому частица переходит из точки 1 в точку 2,

- и путь , по которому частица переходит из точки 2 в точку 1. При этом точки 1 и 2 выбраны произвольно.

Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

. (4.10)

Очевидно, работы и отличаются только знаком. Действительно, изменение направления движения на обратное приводит к замене на - , поэтому значение интеграла изменяет знак на обратный.

Поэтому равенство (4.10) можно записать в виде: .

Так как работа не зависит от пути, то = - , и .

Кроме консервативных сил существуют неконсервативные силы. К ним относятся диссипативные силы, переводящие механическую энергию во внутреннюю.

Это силы

• трения, сопротивления среды,

• гироскопические силы, перпендикулярные скорости (сила Кориолиса, сила Лоренца), работа которых всегда равна нулю.

Для неконсервативных сил соотношение (4.7) не выполняется.

Д окажем, что сила тяжести является консервативной.

Эта сила в любой точке имеет одинаковые величину и направление – вниз по вертикали (рис.4.5).

Поэтому, независимо от того, по какому из путей 1 или II движется частица, работа определяется выражением:

Из рис.4.5 видно, что проекция вектора на направление равна разности высот .

Тогда работа

Это выражение не зависит от пути, следовательно, сила тяжести консервативна.

Силы, действующие на частицу в центральном поле, также консервативны (рис.4.6).

Элементарная работа центральной силы на пути равна .

Проекция на направление силы в данном месте – это проекция на направление радиуса-вектора , она равна приращению расстояния частицы до центра силового поля О: .

Работа на всем пути

Это выражение

• зависит только от вида функции и от значений и .

• не зависит от вида траектории.

Следовательно, центральная сила консервативна.