- •Лаборатория «Физические основы механики»
- •Краткие теоретические сведения
- •1.1 Кинематика вращательного движения
- •1.2 Момент инерции
- •1.3 Кинетическая энергия вращения
- •1.4 Момент силы. Уравнение динамики
- •1.5 Момент импульса и закон его сохранения
- •Описание лабораторной установки
- •Описание методики эксперимента
- •Порядок выполнения работы
- •5. Контрольные вопросы
- •6. Литература
1.2 Момент инерции
Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:
,
где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния d между осями:
.
В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).
Таблица 1.2.1
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции |
Полый тонкостенный цилиндр, обруч радиусом R |
Ось симметрии |
|
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R |
Ось симметрии |
|
Прямой тонкий стержень длиной |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину |
|
Прямой тонкий стержень длиной |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец |
|
Шар радиусом R
|
Ось проходит через центр шара |
|
1.3 Кинетическая энергия вращения
Рассмотрим абсолютно твёрдое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1.3.1). Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами , ,..., , находящиеся на расстоянии , ,..., от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами опишут окружности различных радиусов и имеют различные линейные скорости . Но так как мы рассматриваем абсолютно твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:
(1.3.1)
Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:
.
Используя выражение (1.3.1), получим:
Рис.
1.3.1
где – момент инерции тела относительно оси z.
Из сравнения формулы (1.3.2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции I вращательного движения – мера инертности тела во вращательном движении, т.е. является вращательным аналогом массы.
1.4 Момент силы. Уравнение динамики
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Моментом силы относительно неподвижной точки O называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки O в точку A приложения силы, на силу (рис.1.4.1):
(1.4.1)
Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении от к .
Рис.
1.4.1
,
где – угол между и , – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки O данной оси z (рис. 1.4.1).
Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:
.
С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:
, но
, поэтому
, или .
Учитывая, что , получим
(1.4.2)
Получили уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.
Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:
,
где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).