- •Лаборатория «Физические основы механики»
- •1. Краткие теоретические сведения
- •1.1 Кинематика вращательного движения
- •1.2 Момент инерции
- •1.3 Кинетическая энергия вращения
- •1.4 Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
- •2. Описание лабораторной установки
- •3. Порядок выполнения работы
- •4. Контрольные вопросы.
- •5.Литература
1.4 Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела
Моментом силы относительно неподвижной точки O называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки O в точку A приложения силы, на силу (рис.1.4.1):
(1.4.1)
Здесь – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении от к .
Рис.
1.4.1
,
где – угол между и , – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О – плечо силы.
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки O данной оси z (рис. 1.4.1).
Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:
.
С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:
, но
, поэтому
, или .
Учитывая, что , получим
(1.4.2)
Получили уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.
Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:
,
где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
Рис.
1.5.1
Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:
(1.5.1)
где – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А; – импульс материальной точки (рис. 1.5.1); – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .
Модуль вектора момента импульса
,
где – угол между векторами и , – плечо вектора относительно точки О.
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:
.
Используя формулу , получим
, т.е . (1.5.2)
Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:
, т.е. (1.5.3)
Это выражение – ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
Можно показать, что имеет место векторное равенство .
В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда
. (1.5.4)
Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).
Таблица 1.5.1
Поступательное движение |
Вращательное движение |
Функциональная зависимость |
|||
Линейное перемещение |
S |
Угловое перемещение |
|
|
|
Линейная скорость |
|
Угловая скорость |
|
|
|
Линейное ускорение |
|
Угловое ускорение |
|
|
|
Масса |
m |
Момент инерции |
I |
(для материальной точки) |
|
Сила |
|
Момент силы |
|
|
|
Импульс |
|
Момент импульса
|
|
|
|
Основное уравнение динамики |
|||||
|
|
||||
Работа |
Работа вращения
|
||||
Кинетическая энергия
|
Кинетическая энергия вращения
|
||||
Закон сохранения импульса
|
Закон сохранения момента импульса
|