Тема 6. Елементи диференціального числення
Лекція 1..
При досліджені функцій, як математичного моделей, детермінованих моделей, важливу роль відіграє швидкість зміни цих функцій, прискорення тощо.
Наприклад. Оцінюючи могутність держави розглядають ВВП (на усю країну), або ВВП на душу населення.
ВВП України в 1999р. – 109,5 млрд. $.
ВВП на душу населення - 2200 $
Тут нас цікавить зміна показників, наприклад, приріст. Але ця величина абсолютна. Нам треба мати відносні величини – приріст функції до приросту аргументу.
Поняття функції
Визначення. Нехай Х та У - деякі числові множини і нехай кожному елементу х Х за будь-яким законом f поставлено у відповідність один елемент у У. Тоді будемо говорити, що визначена функціональна залежність у від х за законом y = f(x). При цьому х називають незалежною змінною (або аргументом), у - залежна змінна, множина Х - область визначення (існування) функції, множину У - областю значень (змін) функції.
Способи задання функцій:
табличний;
аналітичний;
графічний.
Приріст аргументу та приріст функції
( довідковий матеріал)
Нехай х0 є деяке значення даної змінної величини. Наряду з х0 розглянемо інше значення х цієї змінної величини. Введемо наступне визначення.
Визначення1. Приростом деякої змінної величини називається різниця між новим значенням цієї величини та її попереднім значенням, тобто х - х0. Приріст незалежної змінної ( або приріст аргументу) позначається х. Таким чином
х = х – х0 (1)
Визначення 2. З рівняння (1) випливає, що
х = х0 + х ( 2 )
тобто первісне значення змінної отримало приріст х. Відповідно значення функції зміниться на величину
f (x ) – f (x0 ) = f ( x0 + x ) - f( x0 ) ( 3 )
Визначення 3. Різниця між новим значенням функції f(x0 + x) та первісним її значенням f(x0) називається приріст функції в точці х0 і позначається символом f ( x0 ), тобто
f ( x0 ) = f ( x0 + x ) – f ( x0 ) ( 4 )
Визначення 4. Приріст функції f в даній точці х0 скорочено позначається через f або y.
y
f
( x0 +
x)
f
f (x )
x
x
0 x0 x0 + x
Визначення 5. Поняття приріст функції та приріст аргументу дозволяють сформулювати ознаки зростання і спадання функцій.
Функція f(x) зростає на проміжку х тоді і тільки тоді, коли для будь-яких значень х0 і х0 + х ( х 0 ) з проміжку X виконується нерівність
.
Функція f (х) спадає на проміжку X тоді і тільки тоді, коли для будь-яких значень x0 та x0 + x (х 0 ) з проміжку X виконується нерівність
.
Приклад. Знайти приріст х та у в точці х0, якщо у = х2 , х0 = 2 , х = 2,1
х = х – х0 = 1,9 – 2 = - 0,1
у = у ( х0 + х ) – у ( х0 ) = у ( 2,1 ) – у ( 2 ) = (2,1) 2 - (2 )2 = 4,41- 4 =0,41.
Границі функції
Число b називається границею функції f(x) при x, яке наближається до a, якщо для будь – якого позитивного числа знайдеться таке позитивне число , що при усіх x a, які задовольняють нерівності | x – a |< b, справедлива нерівність
| f ( x ) – b | < .
При цьому запис буде такий
.
Теорема. Якщо функція f (x) має границю при х а, то ця границя єдина.
Теореми (про границі суми, добутку та частого).
Якщо при х а існують границі функцій f i g, то:
(
f (x) + g (x)) =
f (x) +
g (x);
( f (x ) + g ( x )) =
f (x)
g (x);
,
де
g (x)
0.
Неперервність функції
Функція f (x) називається неперервною у точці х0, якщо вона визначена в деякому околі цієї точки і якщо границя функції при х х0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
f
(x) = f (x0
)
2. Функція f(x), неперервна в кожній точці заданого проміжку, називається неперервною на всьому проміжку.
3. Будь–яка раціональна функція неперервна при усіх значеннях незалежної змінної при котрих вона визначена.
4. Якщо функція, визначена в деякому околі точки x0,, а в точці x0 не визначена або її границя в точці х0 не дорівнює значенню функції в цій точці, то можемо сказати, що функція має розрив в точці х0 , а точку х0 називають точкою розриву.
(
наприклад: функція у =
неперервна в будь–якій точці х
0, а в точці
х = 0 вона має розрив).
Визначення похідної.
Похідною функції f(x) в точці х0 називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при х 0 ( якщо ця границя існує ).
Для позначення похідної функції х застосовують наступні символи
у’(x0) або f’(x0)
(5).
Якщо в деякій точці x0 границя (5) нескінченна
то в точці х0 функція f (x) має нескінченну похідну.
Якщо функція f(x) має похідну в кожній точці множини Х, то похідна f’(x) також є функцією від аргументу x, визначеної на X.
Розділ математики, що вивчає знаходження похідних функцій називається диференційним численням, а обернена їй задача знаходження первісної функції f (x) по відомій похідній складає предмет інтегрального числення.
Диференційне числення та інтегральне числення об’єднується одним загальним поняттям – математичний аналіз.
Приклад.
Знайдемо похідну функції f (x) = x2
f ( x + x ) = ( x + x )2 = x2 +2x x + ( x)2
y = [ x2+2x x + ( x)2 ] – x2 = 2x x + ( x)2
y’
=
Основні формули диференціювання
Функція у
|
Похідна у ‘ |
Функція у |
Похідна у’ |
С = const
x
xn
ex
ax
ln x
log a x
|
0
1
nx n – 1
-
ex
ax ln a
|
sin (x)
cos (x)
tg (x)
ctg (x)
arcsin (x)
arccos (x)
arctg (x)
arcctg (x) |
cos (x)
- sin (x)
-
-
- |
e=
(1+
)n=2,718…2,72