2. Исходные понятия теории вероятностей

Всякая современная математическая теория строится по одному образцу: вначале задаются некоторое множество и система аксиом, определяются связи между элементами и подмножествами этого множества. Теория вероятностей не является исключением, она строится как абстрактная математическая дисциплина. Вместе с тем у теории вероятностей есть много приложений, обращенных во внешний мир, например, теория массового обслуживания, теория надежности, прикладная статистика. Оказывается, что с ее помощью можно успешно описывать, изучать, прогнозировать многие реальные случайные явления.

Однако любой, даже вводный курс теории вероятностей, если он претендует на корректность изложения, должен содержать ее аксиоматическое представление. Наша ближайшая цель – описание того исходного множества, которое кладется в основу любой математической структуры. В теории вероятностей это множество называется пространством элементарных исходов.

2.1. Эксперимент, элементарный исход эксперимента, пространство элементарных исходов

Под экспериментом понимается некое действие, которое может быть многократно повторено в одних и тех же условиях. Например, бросание монеты или кубика. Конечно, в реальном мире нельзя дважды бросить кубик в одних и тех же условиях. Хотя бы потому, что за время бросания Земля поворачивается вокруг своей оси, вокруг Солнца, вместе с Солнцем вокруг центра Галактики, условия разные! Но такие соображения игнорируются и постулируется возможность сохранения одних и тех же условий.

В зависимости от нужд эксперимента экспериментатор выделяет возможные исходы эксперимента. Они называются элементарными исходами, если взаимно исключают друг друга и в совокупности охватывают все возможные случаи. Например, в случае бросания кубика можно выделить два элементарных исхода – четно или нечетно выпавшее число очков, а можно шесть – какое именно число (от 1 до 6) выпало на верхней грани; а вот такие исходы: выпало четное число очков; выпало число очков, делящееся на три; выпало число очков, не делящееся ни на два, ни на три, не являются элементарными: шесть делится и на два, и на три, поэтому первые два исхода не исключают друг друга.

Элементарные исходы бывают равновозможными (по-другому говорят: у всех у них одинаковые шансы произойти) и неравновозможными в противном случае. Например, из соображений симметрии можно считать, что у любой грани однородного (правильного) кубика одинаковые шансы выпасть в сравнении с другими.

А вот пример неравновозможных исходов: у наудачу выбранного человека спрашивают, в високосном или не високосном году он родился. Ясно, что два элементарных исхода этого эксперимента неравновозможны. Исход «год рождения високосный» имеет примерно в три раза меньше шансов, чем исход «год рождения невисокосный».

Пространством элементарных исходов (обозначается буквой ) называется произвольное множество, элементам которого поставлены во взаимно однозначное соответствие элементарные исходы данного эксперимента. Приведем три примера пространств элементарных исходов.

Пример 1. Бросается кубик, элементарный исход – число выпавших очков. Множество  состоит из шести элементов; обозначим их натуральными числами от единицы до шести,  = {1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6}.

Пример 2. Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет одно очко. Здесь элементарный исход – число бросаний кубика до первой единицы. Элементарных исходов бесконечно много,  – это множество натуральных чисел,  = {1, 2, ...}. Элементарные исходы неравновозможны.

Пример 3. Два человека договорились встретиться в определенный день в определенном месте. Каждый из них может прийти к месту встречи в любой момент времени между 12 и 13 часами. Здесь элементарный исход удобно описать парой чисел (х, у), где х – время прихода к месту встречи первого человека, у – второго. Элементарных исходов бесконечно много, но перечислить их через запятую, как в примере 2, уже нельзя.  = = {(х, у), 12  х, у  13} – так можно описать множество .