- •Типовой расчёт № 2 Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
- •Образец выполнения типового расчёта № 2.
- •Решение.
- •Вариант № 1.
- •Вариант № 2.
- •Вариант № 3.
- •Вариант № 4.
- •Вариант № 5.
- •Вариант № 6.
- •Вариант № 7.
- •Вариант № 8.
- •Вариант № 9.
- •Вариант № 10.
- •Вариант № 11.
- •Вариант № 12.
- •Вариант № 13.
- •Вариант № 14.
- •Вариант № 15.
Типовой расчёт № 2 Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной
Образец выполнения типового расчёта № 2.
Задание 1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .
Решение:
Воспользуемся формулой: . Для данной функции получим: .
Ответ: .
Задание 2. Найти производные функций:
2.1.
Решение:
.
. 2.2. .
Решение:
Используем правило дифференцирования сложной функции: .
.
Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в виде .
2.3. .
Решение:
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: . Получим .
2.4. .
Решение:
Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .
Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .
Решение:
Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что является функцией аргумента . Получим:
. Из полученного равенства выразим производной : , откуда .
Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
Решение:
Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .
Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .
Решение:
Используем приближённое равенство: , верное при малых значениях . Откуда: .
Преобразуем сначала исходное выражение: . Положим , , . Производная равна: , . Окончательно имеем: .
Задание 6. Найти вторую производную функции .
Решение:
Сначала находим первую производную: .
Вычисляем вторую производную:
.
Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Решение:
Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда - уравнение касательной.
Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда - уравнение нормали.
Задание 8. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Решение:
Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:
Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график:
Решение.
Функция определена и непрерывна в интервале (0;+). В граничной точке области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .
Так как в точке функция имеет бесконечный разрыв, то прямая является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).
;
.
(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).
Итак, и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.
Найдем производную функции и критические точки:
. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;).
х
0
е
+
-
Составим таблицу:
x
(0;e)
e
(e;+)
y`
+
0
-
y
возрастает
max
убывает
Экстремум функции: .
Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:
, при .
Определим знак
второй производной в интервалах
и
:
+
-
-
х
0
+
x
(0;
)
4,48
(
;)
y``
-
0
+
график
выпуклый
точка перегиба
вогнутый
Составим таблицу:
y( )=3/( ) 0,33
Г рафик пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:
y
х
1
е
е
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение:
Найдём область определения функции: . Далее, продифференцируем функцию: . Найдём критические точки: . Одна из них, , принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:
. Таким образом, .