Пространство элементарных событий. Случайные события.
Формализуем теперь понятие случайного события, как основополагающего понятия теории вероятностей.
Определение.
Множество
всех возможных взаимоисключающих
исходов случайного эксперимента
называется пространством
элементарных событий.
Элементы множества
называются элементарными
событиями
(исходами) и обозначаются ,
.
Из определения следует, что при проведении эксперимента обязательно наступает одно из элементарных событий . и никакие два элементарных события 1 и 2, отличные друг от друга, не могут наступить одновременно.
Определение. Подмножества пространства элементарных событий , называются случайными событиями, или просто событиями.
Обозначаются случайные события прописными буквами латинского алфавита A, B, C,….
Говорят, что в
результате эксперимента произошло
событие
,
если в эксперименте произошел один из
элементарных исходов, входящих в
множество А.
Замечание. Вообще говоря, можно называть событиями не обязательно все подмножества , а лишь множества из некоторого набора подмножеств , считаемых доступными наблюдению (возможными) в данном эксперименте. В случае произвольного (несчетного) такое ограничение необходимо производить для корректного определения понятия вероятности с точки зрения теории меры. Однако в данном курсе эти тонкости рассматриваться не будут (без ущерба для практических приложений) и событиями будут считаться любые подмножества .
Вернемся к рассмотренным в предыдущем разделе примерам с учетом введенных определений.
1.
,
где
- мощность множества.
2.
A = {Выпало четное число очков} = {2, 4, 6}.
3.
.
A
= {Выпадение
герба} =
.
4.
А = {Эксперимент закончится не позднее, чем на третьем шаге} =
.
5.
= {Попадание в круг единичного радиуса}.
Операции над случайными событиями.
Поскольку события являются подмножествами, то операции над ними такие же, как в теории множеств. Только в теории вероятностей употребляется терминология, отличная от теоретико-множественной.
С
уммой
двух событий A
и B,
A,
B
называется событие A+B
,состоящее
из всех элементарных событий, принадлежащих
по крайней мере одному из событий A
или B.
Событие A+B
наступает тогда и только тогда, когда
наступает или событие A
или событие B.
Произведением
двух событий A
и B,
A,
B
называется событие
AB
,
состоящее из элементарных событий,
принадлежащих и A,
и B.
Событие AB
наступает тогда и только тогда, когда
события A
и B
наступают одновременно.
Операции суммы и произведения обобщаются по индукции на любое конечное или счетное число событий.
Р
азностью
двух событий A
и B,
называется событие
состоящее из элементарных событий
множества A,
не принадлежащих B.
Событие A-B
происходит тогда и только тогда, когда
происходит A,
но не происходит B.
Событие называется достоверным событием. Оно происходит всегда при проведении эксперимента.
Невозможным называется событие , которое никогда не может произойти при проведении эксперимента.
С
обытие
называется противоположным
событию A.
Событие
происходит тогда и только тогда, когда
А не
происходит.
Говорят, что событие
A
влечёт
событие B
(или, что B
следует
из A),
обозначается
,
если все элементарные события,
принадлежащие событию A,
принадлежат также и событию B,
то есть из наступления события A
следует наступление события B.
Очевидно, что любое
событие А
влечет достоверное и следует из
невозможного:
.
События A
и B
называются равносильными,
обозначается A=B,
если
.
События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно: AB =
События
образуют
полную группу
событий,
если:
они являются попарно несовместными:
;в сумме дают событие достоверное:
.
A1
An-1
…
A2
An
Пример.
Эксперимент состоит
в подбрасывании игральной кости:
.
Рассмотрим события:
A = {Выпадение четного числа очков} = {2, 4, 6};
B = {Выпадение не более трех очков} = {1, 2, 3};
C = {Выпадение нечетного числа очков} = {1, 3, 5}.
Тогда
,
;
;
;
,
то есть события А
и С
образуют полную группу событий.