1.3.4. Эффективная масса носителей заряда

На свободный электрон, помещенный в однородное электрическое поле E, действует сила F=-qE, под действием которой электрон приобретает ускорение . Здесь т — масса электрона. Поскольку является единственной силой, определяющей характер движения частицы, вектор ускорения электрона направлен так же, как и вектор внешней силы, т.е. против поля E.

В кристалле, внешнее поле E действует на электрон так же, как на свободный электрон: с силой F=-qE, направленной против поля. Однако, кроме силы -qE, на электрон действуют значительные внутренние силы, создаваемые периодическим полем решетки. Это означает, что ускорение электрона в решетке в общем случае может быть не направлено параллельно внешней силе . Следовательно, движение электрона в кристалле будет более сложным, чем движение свободного электрона. Именно поэтому энергия электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, не имеет квадратичной зависимости от волнового вектора E ≠ p²/2m. Это также следует из теоретических моделей (например, модели Кронига и Пенни). Однако для практических целей иногда удобно сохранить зависимость энергии электрона от квазиимпульса в классическом виде, а все различия, вызванные влиянием периодического поля, включить в массу электрона. Тогда формулу Е р²/2m можно переписать в виде Е=р²/2m^*, где вместо т появляется некоторая величина т*, которая является функция энергии, и которая называемая эффективной массой. Для определения понятия эффективной массы можно воспользоваться несколькими подходами.

(а) Определение эффективной массы из разложения в ряд Тейлора (формальный, математический метод). В одномерном случае величину т* можно рассчитать из разложения энергии в ряд Тейлора около экстремальных точек (т. к. E(k)- периодическая функция k и E(k)~cos(k) (периодический член))

(1.71)

Так как в точках k=k_o энергия имеет максимум или минимум (см. рис. 1.46, 1.47), то первая производная равна нулю. Ограничиваясь вторым приближением, из (1.71) находим:

(1.72)

Или: (1.73)

Если E(k)-E(k₀)=E(k₁), а k-k₀=k₁, тогда ,

Следовательно, роль эффективной массы играет величина

(1.74)

В низших точках разрешенных зон Е(k) имеет минимумы, а вторая производная от Е по k больше нуля. Поэтому на дне зоны эффективная масса положительна, а в вершинах зон отрицательна, поскольку d²E/ dk²<0. В некоторой точке в центре зоны m*  . Очевидно, разложение энергии в степенной ряд (1.71) и формула (1.74) справедливы только вблизи точек экстремума.

(Б) Определение эффективной массы из квазиклассического подхода.

Понятие эффективной массы имеет более широкие границы применимости и может быть введено исходя из принципа соответствия. Известно, что средние квантовомеханические величины удовлетворяют тем же соотношениям, что и соответствующие им классические величины. Так, волновые пакеты, составленные из решений уравнения Шредингера, движутся по траекто­риям классических частиц. Поэтому уравнению Ньютона должен соответствовать квантовомеханический аналог, то есть квантовомеханическое уравнение движения электрона в кристалле.

Таким образом, можно использовать квазиклассический подход (наполовину классический, наполовину квантовомеханический). В этом подходе квантовомеханическим, является определение электрона как волны. В этом случае движение электрона в кристалле можно описать с помощью волнового пакета, составленного из блоховских функций. Тогда средняя скорость движения электрона равна групповой скорости распространения всего волнового пакета - . Учитывая, что , для групповой скорости получаем:

(1.75)

Аналогичным образом можно ввести усредненное ускорение волнового пакета (электрона) в кристалле:

(1.76)

С учетом того, что время и квазиимпульс независимы, в (1.76) можно поменять местами порядок их дифференцирования:

(1.77)

Классическим, в настоящем подходе, является определение работы внешней силы над рассматриваемым электроном, которая приводит к увеличению энергии (скорости) электрона:

, откуда или (1.78)

Подставляя (1.78) в (1.77) и учитывая, что внешняя сила F не зависит от k, получим:

(1.79)

Перепишем в виде: (1.80)

Т.е. по аналогии с законом Ньютона, величину можно назвать массой электрона:

(1.81)

Величина т* получила название эффективной массы электрона. Эффективная масса отражает влияние периодического потенциала решетки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. В периодическом поле кристаллической решетки электрон движется под действием внешней силы F в среднем так, как двигался бы свободный электрон под действием этой силы, если бы он обладал массой т* Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы т приписать эффективную массу т*, то его можно считать свободным и движение этого электрона описывать так, как описывается движение свободного электрона, помещенного во внешнее поле. Разница между т* и m обусловлена взаимодействием электрона с периодическим полем решетки, и, приписывая электрону эффективную массу, мы учитываем это взаимодействие.

Эффективная масса, в отличие от обычной массы, не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она является лишь коэффициентом в уравнении движения и отражает меру взаимодействия электрона с кристаллической решеткой.

Пользуясь понятием эффективной массы, задачу о движении электрона в периодическом поле решетки V( ) можно свести к задаче о движении свободного электрона с массой т*. Это значит, что вместо уравнения Шредингера с периодическим потенциалом

, нужно решать уравнение

, (1.82)