P3
.pdfIII Смешанные задачи для уравнений гиперболического и параболического типов
1. |
Смешанные задачи для волнового уравнения ......................................................... |
2 |
|
2. |
Смешанная задача для уравнения теплопроводности ............................................ |
4 |
|
3. |
Задача Штурма-Лиувилля .......................................................................................... |
5 |
|
4. |
Общая схема метода разделения переменных ......................................................... |
7 |
|
5. |
Метод разделения переменных для решения 1ой смешанной задачи для |
|
|
волнового уравнения....................................................................................................... |
8 |
||
6. |
Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к |
|
|
задаче с однородными граничными условиями......................................................... |
10 |
||
7. |
Решение методом разделения переменных смешанных задач для |
|
|
неоднородного уравнения ............................................................................................ |
12 |
||
8. |
Решение методом разделения переменных 1ой смешанной задачи для |
|
|
уравнения теплопроводности в стержне..................................................................... |
13 |
||
9. |
Корректность 1смешанной задачи для уравнения теплопроводности ............... |
14 |
|
10. |
Решение 1ой смешанной задачи в четверти плоскости ..................................... |
16 |
|
11. |
Спектральная задача для оператора Лапласа ...................................................... |
17 |
|
12. |
Решение методом разделения переменных I смешанной задачи для уравнения |
||
теплопроводности в пластине ...................................................................................... |
19 |
||
13. |
Задача о распространении тепла в шаре. ............................................................. |
21 |
1. Смешанные задачи для волнового уравнения
Рассмотрим на плоскости полуограниченную полосу + = {0 ≤ ≤ , 0 ≤ <
+∞}. Волновое уравнение: |
2 |
= 2 |
2 |
|
в + (1) =0 = |
|
0 ≤ ≤ 2 , |
||||
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
+ граничные условия =0 = 1 , = |
= 2 , ≥ 0 (3) |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
=0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 0 ≤ ≤ , |
1 0 ≤ ≤ |
|||
1-я смешанная задача: для функции |
|||||||||||
, 2 |
≥ 0 |
необходимо найти функцию , 2 + |
|
∩ + , |
удовлетворяющую (1-3). Граничные условия (3) означают, что концы стержня закреплены на определенной высоте, а т.к. эти функции зависят от t, то высота закрепления меняется со временем. Для того, чтобы (1-3) имела решение
2 |
+ ∩ + , необходимо выполнение условий согласования, т.е. совпадения |
||||||||||||||||||||||||
условий в граничных точках: |
0 |
|
= 1 |
|
0 , |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
2 |
0 , 0 = ′ |
0 , |
= |
2 |
′ |
|
0 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кроме того, |
′′ 0 = 2 |
′′ |
|
, |
2 |
′′ |
0 |
|
= 2 ′′ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-я смешанная задача: |
|
2 |
|
= 2 |
2 |
|
|
|
в + 4 |
=0 = |
0 ≤ ≤ , |
||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
5 , |
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
= |
, ≥ 0 (6) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=0 |
|
|
|
=0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|||||||||
При заданных функциях 2 |
0 |
|
≤ ≤ , |
1 0 |
≤ ≤ , |
||||||||||||||||||||
|
1( ≥ 0) необходимо найти ( , ) 2( +) ∩ ( +), |
||||||||||||||||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющую(4-6). Граничные условия (6) означают, что на концах струны действуют силы, Ox. Условия согласования, необходимы для 2-й смешанной
задачи: ′ 0 |
= |
0 , ′ |
= |
0 |
, ′ 0 |
= ′ |
0 , ′ |
= ′ 0 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
||||
3-я смешанная задача: |
|
= 2 |
|
в + |
7 |
|
|
||||||||||
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
=0 = |
0 ≤ ≤ , |
|
|
= 8 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− 1 =0 |
= 1 |
, |
|
+ 2 = = 2 , ≥ 0, (9) |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При заданных функциях 2 0 |
≤ ≤ , |
1 0 |
≤ ≤ , |
||||||||||||||
1 ≥ 0 |
, |
1 ≥ 0 , > |
0 необходимо найти ( , ) 2( +) ∩ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( +) , удовлетворяющую (7-9). Граничные условия 3-го рода (9) означают, что на концах струны действуют упругие силы. Необходимо условие согласования:
′ 0 − |
|
|
0 0 = 0 , |
|
|
|
|
|||||
′ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
0 |
= 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
′ 0 − ′ |
1 |
0 0 − |
0 0 = |
′ |
1 |
0 , |
||||||
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
+ ′ |
|
|
0 |
+ |
2 |
0 |
= ′ 0 |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Можно еще рассмотреть задачу для обобщенного волнового уравнения:
|
2 |
− |
|
|
|
+ = , (10) |
2 |
|
|
=0 = |
, |
|
|
= (11) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|||
|
|
|
+ |
|
= ( ) |
||||||
|
|
=0 |
|||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
( ), (12) |
||
2 |
|
= |
2 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
Уравнение (10) описывает колебания неоднородной струны, а граничные условия (12) в зависимости от значений , могут задавать граничные условия 1-го, 2- го, 3-го рода.
2. Смешанная задача для уравнения теплопроводности
Рассмотрим уравнение теплопроводности:
|
= 2 |
2 |
(1) |
= {0 < < , > 0} |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
||
| =0 |
= ( ) (2) |
0 ≤ ≤ |
|||
| =0 = 1( ) (3) |
≥ 0 |
||||
| = |
= 2( ) (4) |
≥ 0 |
1-ая смешанная задача теплопроводности: при заданных С(0 ≤ ≤ ) и
( ≥ 0) найти ( , ) 2,1( ) ( ) удовлетворяющую (1-4)
,
Уравнение (1) описывает колебание тонкого стержня, (2) задает температуру в начальный момент времени и (3-4) задают температуру на концах стержня. Для существования классического решения (1-4) необходимо выполнение условий согласования: 0 = 1(0), = 2(0)
2ая смешанная задача:
|
= 2 |
2 |
(5) |
= {0 < < , > 0} |
|||
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
||
| =0 = ( ) (6) |
0 ≤ ≤ |
|
|||||
|
| |
|
= ( ) (7) |
≥ 0 |
|
||
|
=0 |
|
|||||
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
| |
|
= ( ) (8) |
≥ 0 |
|
||
|
= |
|
|||||
|
2 |
|
|
||||
Для заданных С1(0 ≤ ≤ ) |
( ≥ 0) необходимо найти ( , ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1( ) ( ) удовлетворяющую (5-8). Граничные условия (7), (8) задают тепловой
,
поток на концах стержня.
Условия согласования: ′ 0 = 1(0) , ′ = 2(0)
3я смешанная задача: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 2 |
2 |
(9) |
= {0 < < , > 0} |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| =0 |
= ( ) (10) |
0 ≤ ≤ |
|
|
|
|
|
|||||
|
+ | |
= ( ) (11) |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
=0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− | |
= ( ) (12) |
≥ 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
При заданных С1(0 ≤ ≤ ) и |
≥ 0 |
, |
|
≥ 0 |
, ( ) > 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
найти , |
1( ), удовлетворяющую (9-12) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия 3-его рода означают, что на концах стержня происходит обмен с окружающей средой.
Необходимое условие согласования:
′ 0 |
+ 0 |
= (0) |
′ |
− |
= (0) |
|
|
1 |
|
|
1 |
3. Задача Штурма-Лиувилля
Это задача для ОДУ, которая является вспомогательной задачей при решении смешанных задач для ДУсЧП методом разделения переменных.
Выберем отрезок [0, ℓ], введем функцию X x |
2 0 < < ∩ |
0 ≤ ≤ ℓ |
|||||||||||
Рассмотрим: |
|
|
|
|
|
− |
+ |
= 0 (1) |
|
||||
|
|
|
|||||||||||
′ 0 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||
− 0 |
= 0 2 |
|
− |
= 0, (3) |
|
||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
где |
1 0 < < , |
> 0; , |
0 < < ℓ , > 0, |
≥ 0; |
|||||||||
|
, ≥ 0 − постоянные 2 + 20. Задача (1-3) – задача на нахождение |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственных значений и соответствующих им собственных функций 0 – задача Штурма-Лиувилля.
Введем дифференциальный оператор: = |
|
|
|
− ( ) |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
граничные условия 1 рода |
граничные условия 2 рода |
|
|
граничные условия 3 рода |
||||||
+ = 0 |
|
+ |
= 0 |
|
|
|
+ = 0 |
|||
0 = 0 |
|
′ 0 = 0 |
|
|
|
1′ 0 |
+ 1 (0) = 0 |
|||
ℓ = 0 |
|
′ ℓ = 0 |
|
|
|
|
′ (ℓ) − (ℓ) = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля:
1) |
∞ |
– бесконечная последовательность собственных значений |
|
=1 |
|||
задачи(1-3) |
|
|
|
2)Каждому собственному значению соответствует одна собственная функция, определенная с точностью до постоянного множителя, т.е. → ! ( )
3)Собственные функции Xn образуют ортогональную систему функций на
отрезке [0; ℓ] с весом ρ(x), т.е. |
ℓ |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
, |
где |
|
– |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дельта Кронекера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство: Рассмотрим |
|
− , , 2(0 ≤ ≤ ℓ) ∩ |
0 ≤ ≤ ℓ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− = |
|
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
+ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
( |
|
− |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проинтегрируем: 0ℓ( |
− ) = |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем = |
|
, = |
|
( ) |
и учтем |
= − |
|
|
, |
|
= − |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Получим: |
|
ℓ( |
|
( ) − |
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
) = ℓ |
|
|
|
ℓ |
′ |
|
ℓ − |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− ℓ ′ |
|
ℓ |
− 0 |
|
0 ′ |
|
0 − 0 ′ |
|
0 |
|
|
|
= ℓ − |
|
ℓ |
|
2 |
ℓ + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
+ ℓ |
2 |
ℓ |
|
− 0 − |
|
0 |
|
1 |
0 + 0 |
|
1 |
0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. имеем: |
|
ℓ( |
|
( ) |
− |
|
|
− |
− |
|
|
|
) = 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
ℓ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
≠ |
|
: |
ℓ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
: |
0ℓ 2 |
= |
|
2 |
т.е. собственные функции образуют |
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональную систему функций веса ( ) |
|
|
|
|
/доказано |
4)Все собственные числа λn ≥ 0
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть |
|
– собственная функция и X |
|
|
x |
2 |
0 < < |
|
∩ 0 ≤ ≤ ℓ . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 0 (умножим на |
|
|
|
и проинтегрируем) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
2( ) + |
|
|
|
ℓ |
2 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ℓ |
2 |
|
|
|
|
ℓ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
|
|
ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
= |
|
( ) − |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ℓ |
2 |
|
|
|
|
ℓ |
2 |
|
|
ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
||||||||||
|
0 |
= |
|
( ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ℓ |
|
|
+ 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.е. заведомо |
|
≥ 0. Если |
|
= 0 |
|
|
= 0, |
|
|
|
= 0, |
|
|
= 0 |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!!! = 0 является собственным значением только для граничных условий второго рода(второй смешанной задачи), причем при = 0
4. Общая схема метода разделения переменных
Рассмотрим смешанную задачу для обобщенного волнового уравнения:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
= 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
=0 = ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 0 (3) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
=0 |
|
2 |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение задачи (1-3) будем искать в виде , |
= , |
0, 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим в (1): ′′ |
− |
= 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
где ( ) = |
|
|
|
|
|
− – оператор Штурма-Лиувилля/ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разделим на , , : |
= |
|
|
|
|
|
= − |
= , второе равенство из |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
того, что левая часть зависит только от t, a правая – только от x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем 2 ОДУ: ′′ |
|
|
+ |
= 0 4 |
и |
+ = 0 5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
0 |
− 0 |
= 0 |
|
|||
Подставим представление решения в (3): |
|
1 |
′ |
|
1 |
= 0 (6) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
(5-6) – задача Штурма-Лиувилля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пусть |
|
, = 0,1,2 …-СЗ этой задачи, а – соответствующие СФ этой задачи. Если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 = 0 – СЗ, то соответствующая СФ: 0 = 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если λ = 0 не является СЗ, то положим 0 = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решаем (4). При ≠ 0 имеем ′′ + |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы знаем что > 0, поэтому корни характеристического уравнения 2 + = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=> = ± |
|
=> |
= |
|
|
|
+ |
|
|
|||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n=0 |
0 |
= 0 и ′′ = 0 => |
|
= |
0 |
+ . |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
Т.о. имеем множество ЧР |
, |
= |
|
|
, |
= 0,1,2 … |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. исходное уравнение (1) линейное однородное, то ОР можно представить в виде
, = |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о имеем ОР: , |
= |
+ + |
∞ |
( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
) |
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
, – неизвестные коэффициенты. Чтобы их найти подставим в решение (2): |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
= + |
|
= |
=0 |
= + |
|
|
|
|
= ( ) |
|||
|
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||
|
0 |
=1 |
|
|
|
0 |
=1 |
|
|
|
|
Пусть φ, ψ удовлетворяют условиям разложения в ряды Фурье по собственным
функциям, т.е. |
= |
∞ |
|
|
|
|
, = |
|
1 |
|
|
, |
||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
∞ |
|
|
, = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. образует ортогональную систему функций, то имеем: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
= |
, |
= |
|
, = 1,2,3 … |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о. построено формальное решение (1-3). Для того чтобы это решение было классическим необходимо чтобы эти ряды сходились
5. Метод разделения переменных для решения 1ой смешанной задачи для волнового уравнения
Рассмотрим 1-ю смешанную задачу для волнового уравнения:
2 |
= 2 |
2 |
, |
0 < < , |
|
> 0 (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
| =0 |
= , |
0 ≤ ≤ |
|
=0 = , 0 ≤ ≤ |
(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| =0 = 0, |
≥ 0, |
| = = 0, |
|
≥ 0 (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= { 2 0 ≤ ≤ , ′′′ |
|
2 |
0, , |
0 |
= = ′′ 0 = ′′( )} |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 1 0 ≤ ≤ , ′′ |
2 |
0, , |
|
|
0 = = 0 , |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, = { 2 0 ≤ ≤ , ≥ 0} |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение ищем в виде: , |
|
= ( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подставляем в уравнение: ′′ |
|
|
|
= 2′′( ) ( ) делим на 2 ( ) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
= |
|
′′ |
|
= − |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Имеем 2 ОДУ: ′′ |
+ 2 = 0, ′′ + = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставляем в граничные условия: 0 |
|
|
= 0, |
= 0. Для X имеем задачу |
||||||||||||||||||
Штурма-Лиувилля. Решаем ее: ′′ + = 0, |
2 = − |
|
если ≤ 0 то корни 1,2 = ± − , тогда ОР:
= − + − ,
0 = + = 0
= − − − = 0
Если A=0, то имеем тривиальное решение ( − − − ≠ 0) Т.о. при < 0 задача Штурма-Лиувилля решений не имеет.
Если = 0, то решение имеет вид ′′ |
= 0 <=> |
= + , 0 |
|
|
= = 0, |
||||||||||||||||||||||||
= = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. для граничничного условия 1-го рода = 0 не дает нетривиальных СФ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если > 0, то 1,2 = ± |
|
, ОР имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Если B=0, то тривиальное решение(нам не подходит). Тогда |
|
= 0. Т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеем множество СЗ |
|
= |
|
|
|
|
и множество СФ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( мы положим B=1, т.к. определены с точностью до const множителя). При |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найденных СЗ решаем ′′ + |
|
|
|
= 0 => = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т.о. имеем множество ЧР |
|
, |
= и ОР представляем в виде суммы |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
, |
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для нахождения , |
|
подставим в (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
= |
∞ |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=> |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
=> |
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о. построено формальное решение (1-3):
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, = |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
Рассмотрим задачу: |
|
|
|
|
|
|
− |
= , |
в ( ) |
|||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| =0 = , |
0 ≤ ≤ ( ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| =0 = , 0 ≤ ≤ ( ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− | |
|
= ( ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ | |
|
= |
( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
||||||
где |
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применить метод разделения переменных к (1 − 5) не можем, т.к. имеем неоднородные граничные условия(4-5). Поэтому решение задачи будем искать в
виде: , = , |
+ ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для функции имеем: |
|
− |
= , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| =0 = ; |
|
|
| =0 = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
− 1 | =0 = 1 |
; 2 |
|
+ 2 | = = 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где , = , |
− |
|
|
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
= − , 0 ; |
|
= |
|
− |
, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= 1 |
|
− |
1 |
0, |
|
− 1 0, |
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
= 2 |
|
− |
2 |
, |
|
|
+ 2 , . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
− 0, |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( , ) выберем так, чтобы 1 |
= 2 |
|
= 0, т.е.: |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
+ , |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В частности, , |
можно искать в виде , |
|
|
= + . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Тогда имеем: |
1 − 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 1 = 1 |
Если |
|
||||||||||||||||||||
+ |
|
|
+ |
= |
|
|
|
2 |
|
+ + = |
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||
определитель системы |
∆= 1 2 |
+ 1 |
2 |
+ 2 |
≠ 0, тогда , можно найти как еѐ |
|||||||||||||||||||||||||||
решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для граничных условий 2-го рода ∆= 0. В этом случае , = 2 |
+ ( ) . |
Методы выбора ( , ) м.б. и другими в зависимости от специфики задачи. После
выбора ( , ) мы получаем для задачу:
22 − = ,