1.10.3. Системы счисления.

Рассмотрим некоторые из них. Многие системы счисления являются настолько распространенными и привычными, что не воспринимается нами как строго определенная система, Рассмотрим на примере хорошо знакомой десятичной системы счисления основные понятия, принципы построения и закономерности систем счисления.

Системой счисления называют набор приемов для записи и наименования чисел. Система счисления показывает, по каким правилам происходит запись чисел и выполнение действий над ними.

В десятичной системе счисления любое число можно записать с помощью десятичных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Нетрудно посчитать, что их всего десять. В связи с этим десятичная система счисления и получила свое название. Исторические сведения говорят, что появление десятичной системы обязано тому, что человек имеет на руках десять пальцев. А это служило основой для счета людей на ранних этапах развития чело­вечества. Итак, количество цифр в системе счисления называется ее основанием.

Кроме десятичной, существуют двоичная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная и другие системы счисления. По аналогии с десятичной системой, в основании двоичной системы счисления две цифры, в основании шестнадцатеричной — шестнадцать, шестидесятеричной — шестьдесят.

Перечисленные выше системы счисления относятся к позиционным системам счисления.

Позиционной системой счисления называется такая система счисления, в которой значение цифры зависит от позиции в записи числа.

Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в этом числе — разрядностью.

Рассмотрим число 4582, записанное в десятичной системе счисления:

4582 = 4×10³ + 5×10² + 8×10¹ + 2×10⁰.

Разряды принято нумеровать слева направо. Каждому разряду соответствует степень основания. В десятичной системе счисления самое правое место занимают единицы. Затем следуют десятки, сотни, тысячи и так далее.

В нашем примере это показано следующим образом.

Запись 4×10³ обозначает четыре тысячи, 5×10² — пять сотен, 8×10¹ — восемь десятков, 2×10⁰ — две единицы.

При этом основанием является число 10, а степенями основания, соответственно, те степени, в которые возведено число 10.

Запись чисел в других позиционных системах счисления производится по тем же принципам.

Двоичная система

Рассмотрим двоичную систему счисления. Как можно понять из названия, в ее основании лежат две цифры. Это 0 и 1. Эта система счисления своим появлением обязана современной вычислительной технике. Двоичными числами записывается вся информация, обрабатываемая ЭВМ, например, такая как числовые данные, графические изображения, тексты программ.

Так как в основании двоичной системы счисления лежит всего две цифры 0 и 1, то и числа в такой системе счисления могут состоять только из этих цифр. Например, 110110, 1111111, 1000000.

Любое двоичное число можно разложить по степеням основания. Если в десятичной системе счисления основанием являлось число 10, то в двоичной — число 2. Поэтому

110110 = 1×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ +1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰.

Любая система счисления не только определяет по каким правилам строятся числа, но и указывает правила, по которым производятся действия над числами. В двоичной системе тоже существуют такие правила.

Рассмотрим сложение двух двоичных чисел. Правило сложения двоичных чисел определяется так:

0 + 0 = 0,

0 + 1 = 1,

1 + 0 = 1,

0 + 1 = 10.

Пример сложения двоичных чисел:

111

+

100_

1011.

Правило умножения двоичных чисел:

0 × 0 = 0,

0 × 1 = 0,

1 × 0 = 0,

1 × 1 = 1.

Пример умножения двоичных чисел:

101

×

110

101

+

101__

11110

Шестнадцатеричная система

В вычислительной технике в ряде случаев числа удобно представлять в шестнадцатеричном виде. По аналогии с рассмотренными выше позиционными системами счисления, шестнадцатеричная система счисления имеет в основании шестнадцать знаков. Первые десять такие же как в десятичной системе счисления, а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Остальные шесть знаков представляют собой латинские буквы, значение которых соответствует значению десятичных цифр:

А – 10,

В – 11,

С – 12,

В – 13,

Е – 14,

F – 15.

Примеры шестнадцатеричных чисел: 5DA4, А59С30, 12D8E.

Непозиционные системы

Кроме позиционных систем счисления существуют и непозиционные системы счисления. Если в позиционной системе счисления значение циф-

ры зависит от позиции в записи числа, то в непозиционной системе такой зависимости не существует.

До наших дней сохранилась римская система счисления. В ней мы привыкли записывать юбилейные даты, главы в книгах, часы и так далее, До нас римские цифры дошли в следующем виде:

I – 1,

V – 5,

Х – 10,

L – 50,

С – 100,

D – 500,

М – 1000,

Z – 2000.

Эта система счисления возникла в Древнем Риме. Древние римляне говорили на латинском языке, поэтому все цифры представляют собой латинские буквы. Почему именно эти буквы стали обозначать соответствующие цифры, достоверных данных нет. Существует гипотеза о том, что цифра V — это обозначение кисти руки, на которой пять пальцев, а цифра X — это две сложенные пятерки.

Все целые числа до 5000 римской системы счисления записываются с помощью приведенных выше цифр по следующим правилам: если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются. А если меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей.

Например:

VI = 6, т.е. 5 + 1;

IV = 4, т.е. 5-1;

XL = 40, т.е. 50 - 10;

LX = 60, т.е. 50 + 10,

причем одна и та же цифра не может повторяться более трех раз. Число восемь записывается как VIII, а девять — уже IX.

Это говорит о том, что от позиции цифры в записи числа ее значение не зависит. В этом и заключается смысл непозиционной системы счисления.

В математике, а, следовательно, и в информатике понятие числа есть абстракция, которая понимается вне зависимости от системы, в которой оно представлено. Законы математики верны во всех системах счисления. Большая разница состоит в удобстве их использования. В разных системах счисления одни и те же действия, например сложение или умножение, могут производиться по разным правилам. Одни из них более удобны для нашего восприятия, другие лучше использовать при работе с вычислительной техникой, третьи настолько неудобны, что практически нигде не применяются. Например, в римской системе счисления выполнение арифметических действий является очень сложным процессом, поэтому данную систему счисления прекратили применять для расчетов еще в XVI веке.

Поскольку понятие числа — категория абстрактная, то одно и то же число может быть представлено в различных системах счисления, при этом не меняя своего абстрактного значения. В информатике существуют правила, которые позволяют производить перевод из одной системы счисления в другую. Рассмотрим те из них, которые необходимо знать и уметь применять при работе с вычислительной техникой [3].