- •«Томский политехнический университет»
- •Косвенные однократные измерения. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений
- •«Практическая метрология»
- •1 Оценивание погрешности при косвенных измерениях.
- •1.2 Погрешность записи числа
- •1.3 Правила округления погрешности и записи результатов измерений
- •2 Оценивание неопределенности измерений.
- •2.1 Правила округления неопределенности измерений
- •1 Измерение геометрических величин
- •1.3 Оценить погрешность результата измерений
- •1.4 Оценить неопределенность измерений
- •2 Измерение электрических величин
- •2.4 Оценить погрешность результата измерений
- •2.5 Оценить неопределенность измерений
1 Оценивание погрешности при косвенных измерениях.
При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной известной зависимостью
(1.1)
где – подлежащие прямым измерениям аргументы функции .
Результатом косвенного измерения является оценка величины у, которую находят подстановкой в формулу (1.1) измеренных значений аргументов хi .
Поскольку каждый из аргументов хi измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (1.1).
Для оценки погрешностей существенным является разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения.
При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид:
, (1.2)
где – постоянные коэффициенты при аргументах хi .
Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (1.2), подставляя в неё измеренные значения аргументов.
Погрешности измерения аргументов хi могут быть заданы своими границами .
При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погрешности результата получается простым суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т.е. подстановкой границ х1, х2,…, хn в выражение:
. (1.3)
Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку такое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к статическому суммированию погрешности аргументов по формуле:
, (1.4)
где – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,9 при k = 1,0; Р = 0,95 при k = 1,1; Р = 0,99 при k = 1,4).
Нелинейные косвенные измерения – любые другие функциональные зависимости, отличные от (1.2).
При сложной функции (1.1) и, в особенности, если это функция нескольких аргументов, определение закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому в основе приближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (1.1) и дальнейшая обработка результатов, как при линейных измерениях.
Запишем выражение для полного дифференциала функции у через частные производные по аргументам хi:
. (1.5)
По определению полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малыми приращениями её аргументов.
Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргументов, можно заменить в формуле (1.5) дифференциалы аргументов на погрешность измерений , а дифференциал функции на погрешность результата измерения :
. (1.6)
Если проанализировать формулу (1.6), то можно получить простые правила оценивания погрешности результата нелинейного косвенного измерения:
- если результат измерений получается перемножением измерений или делений измерений , то для получения полной относительной погрешности складываются относительные погрешности каждого измерения , где ;
- если результат измерений получается суммирование измерений или вычитанием измерений , то для получения полной погрешности складываются абсолютные погрешности каждого измерения ;
- если результат измерений возведен в степень, то для получения полной относительной погрешности показатель степени умножается на относительную погрешность измерения.