- •"Випадкові процеси"
- •1 Мета та загальні вимоги до курсової роботи
- •2 Організація, керівництво курсовою роботою та її захист
- •3 Графік виконання курсової роботи
- •4 Структура пояснювальної записки та її зміст
- •Додатки.
- •5 Вимоги до оформлення тексту пояснювальної записки
- •5.1 Загальні вимоги
- •5.2 Розділи, підрозділи, пункти та підпункти
- •5.3 Ілюстрації
- •5.4 Таблиці
- •5.5 Посилання
- •5.6 Примітки
- •5.7 Формули
- •5.8 Додатки
- •6 Приблизний перелік тем курсових робіт та вимоги до них
- •7 Зразок виконання курсової роботи
- •Зразок титульної сторінки
- •Пояснювальна записка
- •Пояснювальна записка
- •Розділ б.1 потоки подій
- •Розділ б.2 марківські ланцюги з неперервним часом
- •Розділ б.3 задача з теорії марковських ланцюгів з неперервним часом
- •Висновок
- •Список літератури
- •39614, М. Кременчук, вул. Першотравнева, 20
Розділ б.3 задача з теорії марковських ланцюгів з неперервним часом
Б.3.1 Постановка задачі
Розглядається процес роботі ЕОМ. Потік відмов (збоїв) працюючої ЕОМ – найпростіший з інтенсивністю . Якщо ЕОМ дає збій, то він негайно виявляється, і обслуговуючий персонал приступає до ремонту. Закон розподілу часу ремонту – показниковий з параметром : . У початковий момент часу ЕОМ справна.
Знайти:
1) ймовірність того, що у момент часу ЕОМ працюватиме;
2) ймовірність того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій;
3) фінальні ймовірності станів ЕОМ.
Б.3.2 Розв'язання задачі
1) Стани системи (ЕОМ) наступні: – система справна, працює; – система несправна, ремонтується. Розмічений граф станів даний на рис. Б.3.1.
Рис. Б.3.1
По графу станів, див. мал. Б.3.1, і формулі (Б.2.3) складаємо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірністей станів і
(Б.3.1)
10
З двох рівнянь системи (Б.3.1) одне (будь-яке) може бути відкинуте, оскільки для будь-якого моменту по формулі (Б.2.2) маємо . Підставляючи в перше з рівнянь системи (Б.3.1) , одержуємо одне диференціальне рівняння відносно :
. (Б.3.2)
Розв’язуємо одержане рівняння:
У початковий момент часу ЕОМ справна. Тому рівняння (Б.3.2) розв’язуємо за початкової умови , одержимо:
,
.
Остаточно маємо, що:
, (Б.3.3)
звідки
. (Б.3.4)
2) Для знаходження ймовірності того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій, введемо нові стани системи : – ЕОМ жодного разу не давала збою; – ЕОМ хоча б один раз дала збій. На рисунку Б.3.2 даний розмічений граф станів цієї системи.
11
Рис. Б.3.2
Стан буде поглинаючим, тобто, з нього немає виходу, див. рис Б.3.2. Отже, для розв’язування задачі достатньо одного диференціального рівняння Колмогорова. У нашому випадку його вигляд:
.
Розв’язуємо рівняння за початкової умови (оскільки в початковий момент система знаходиться у стані ). Одержимо:
,
звідки
.
Отже, ймовірність того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій, дорівнює
3) Фінальні ймовірності станів ЕОМ, відповідно до розділу Б.2, можна одержати, розв’язавши систему (Б.3.1), якщо покласти в ній: . Маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
(Б.3.5)
Враховуючи, що , залишимо тільки одне рівняння системи (Б.3.5) (будь-яке)
,
звідси
.
12
Тоді
.
Отже, фінальні ймовірності станів ЕОМ:
,
.
13
Висновок
У даній курсовій роботі обчислені ймовірності станів ЕОМ, а також її фінальні ймовірності. ЕОМ переходить із стану в стан під дією найпростіших потоків подій. Тому процеси, що відбуваються в системі (ЕОМ) розглядаються як марківські ланцюги з неперервним часом. Для того, щоб знайти ймовірності станів системи, був побудований розмічений граф станів системи. Виходячи з графа станів, одержана система диференціальних рівнянь Колмогорова, розв’язок якої дозволив знайти шукану ймовірність.
Певні труднощі виникли, коли обчислювалася ймовірність того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій. В цьому випадку довелося вводити нові стани системи.
Фінальні ймовірності, в нашій роботі, також обчислювалися за допомогою системи диференціальних рівнянь Колмогорова. Проте можна було б діяти інакше: обчислити границю (Б.2.6) від ймовірностей станів (Б.3.3) і (Б.3.4). Значення кожної фінальної ймовірності дозволяє судити про середній відносний час перебування системи в даному стані. Це є вельми важливим чинником для прогнозування роботи системи.
Методи, розглянуті в роботі, можна використовувати при розв’язанні деяких економічних задач, в системах масового обслуговування, в задачах прогнозування і т. ін.
14