Тема 5. Средние величины.

1. Назначение средних величин.

2. Виды средних величин.

3. Свойства средних величин.

4. Структурные средние величины (мода и медиана).

Вопрос1.

Характеристика признаков явлений или общих целей, общих закономерностей процесса, являющейся важнейшей социально-экономической задачей решается при помощи средних величин. Однако эта общая задача должна быть конкретизирована более частными задачами. В экономике можно выделить несколько основных вопросов, решение которых связано с вычислением средних величин:

• характеристика уровня развития явления

• сравнение двух или нескольких уровней

• характеристика изменения уровня, явлений во времени

• выявление и характеристика связей и закономерностей развития явления

• производство расчетов и их оценка в связи с планированием, прогнозированием, балансовыми расчетами и т.д.

С помощью средних величин проводится много аналитических исследований при решении народнохозяйственных задач в целом или по отраслям, когда приводятся важнейшие характеристики состояния и развития отрасли, предприятия и т.д. «Аналитическая сила» средних величин состоит в обобщении соответствующей совокупности типичных, однородных показателей, явлений, процессов. Они позволяют переходить от единичного к общему, от случайного к закономерному, сглаживая различая в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Вопрос 2. Средней величинойназывается обобщающий показатель, характеризующий типичные размеры и количественное соотношение варьирующих признаков качественно однородной совокупности.

Средняя величина (Х) представляет собой отношение абсолютного статистического показателя, который выражает общий объем явлений или признака, к численности совокупности этого явления. Индивидуальные значения признака называются вариантами этого признака и обозначаютсяХ, а число единиц совокупности, которые указываю на их повторение называются частотами (f) или весами (W).

Различают следующие виды средних величин:

• средняя арифметическая

• средняя гармоническая

• средняя геометрическая

• средняя квадратическая

• структурные средние - мода и медиана.

В теории статистики различают следующие формы средних величин:

• простая форма (не взвешенная)

• сложная (взвешенная) или агрегатная форма.

Основной исходной формой средних величин является степенная средняя, которая имеет следующий вид:

= простая(не взвешенная )средняя степенная

где - степенная средняя,

Х - варианта признака,

n- число единиц совокупности,

к - показатель степени.

Взвешеннаястепенная средняя имеет следующий вид:

где f- частота повторения признака в совокупности.

Придавая определенные значения ки преобразуя формулу средней можно получить следующие виды средних величин:

при к = 1 - средняя арифметическая

при к = 0 - средняя геометрическая

при к = -1 средняя гармоническая

при к = -2 - средняя квадратическая.

Средняя арифметическая- наиболее распространенный вид средней, которая может быть выражена при помощи формул:

1. Простаясредняя арифметическая исчисляется тогда, когда значения вариантов встречаются по одному или одинаковому числу раз, т.е. когда повторяемость каждого варианта одинакова

2. Взвешеннаясредняя арифметическая исчисляется тогда, когда отдельные значения признака повторяются неодинаковое число раз

где Х - варианта признака, n- число единиц в совокупности,f- частота.

В статистической практике бывают случаи, когда при вычислении средней имеются данные об индивидуальных значениях признака (Х) и его общем объеме в совокупности (w), но не известны частоты (f). В таких случаях среднее значение признака исчисляется по формулесредней гармонической, которая представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений вариант.

1. Простая средняя гармоническая имеет следующий вид:

2 Взвешеннаясредняя гармоническая выражается формулой:гдеw- объем явления.

Средняя геометрическаявеличина применяется при расчетах средних темпов роста для рядов динамики и имеет следующий вид:

где П (Х) – произведение, n- число лет

Средняя квадратическаявеличина применяется для оценки вариации признака от среднего уровня, при расчете среднего и квадратического отклонения и дисперсии, при расчете коэффициента вариации, при проверке правила сложения дисперсии, в дисперсионном анализе, при расчете моментов в рядах распределения, коэффициентов асимметрии и эксцесса и т.д.

1. Простаясредняя квадратическая определяется по формуле:

2. Взвешеннаясредняя квадратическая:.