Лабораторна робота №1 Імітаційне моделювання для вирішення інженерно-обчислювальних задач (методом Монте-Карло)

1. Підготовча частина

Для виконання лабораторної роботи необхідно повторити наступні питання:

1. Обчислення площі фігури, обмеженої кривими.

2. Теоретична частина

Приклад. Нехай потрібно визначити площу круга відомого діаметра з допомогою вибірок із значень випадкової величини. Впишемо круг в квадрат; таким чином, щоб сторони квадрата були рівними діаметру круга.

Нехай круг має радіус r=5 см і його центр в точці (0,0).

Рівняння кола з радіусом 5 см буде мати вигляд:

Описаний квадрат визначається його вершинами (-5,5), (5,5), (5,-5) и (-5,-5), які отримуються безпосередньо із геометричних властивостей фігури. Довільна точка (х,у) всередині квадрата або на його границі повинна задовольняти нерівностям -5≤х≤5 і -5≤у≤5.

Застосування вибірок при використанні метода Монте-Карло базується на передбаченні, що всі точки в квадраті -5≤х≤5 і -5≤у≤5 можуть з’являтися з однаковою ймовірністю, тобто х і у розподілені рівномірно з щільністю ймовірності:

Визначимо тепер точку (х, у) відповідно до розподілів f(x) і f(у). Продовжуючи цей процес, підрахуємо кількість точок, які попали всередину круга або на коло. Припустимо, що вибірка складається із n спостережень і m із n точок потрапили всередину кола або на коло. Тоді:

оцінка площі круга = m/n(площа квадрата)=(m/n)*(10*10)

Подібний спосіб оцінки площі круга можна обґрунтувати тим, що в процесі отримання вибірки довільна точка (х, у) може з однаковою ймовірністю потрапити в будь-яке місце квадрата. Тому відношення m/n представляє оцінку площі кола щодо площі квадрата.

Реалізуємо метод Монте-Карло для обчислення площі за допомогою Excel. Для отримання вибірки випадкових чисел с заданим розподілом можна скористатися функцією «Генерация случайных чисел» из меню «Анализ данных».

	A	B	C
1	-2,69432660908841	-1,50318918424024	=ЕСЛИ(A1*A1+B1*B1<=25;1;0)
2	0,626392406994842	-4,30265205847346	=ЕСЛИ(A2*A2+B2*B2<=25;1;0)
3	-4,60478530228584	-1,3075655384991	=ЕСЛИ(A3*A3+B3*B3<=25;1;0)
4	-4,74211859492782	0,307168797875912	=ЕСЛИ(A4*A4+B4*B4<=25;1;0)
5	3,57356486709189	-4,41953794976653	=ЕСЛИ(A5*A5+B5*B5<=25;1;0)
		…
148	-4,65086825159459	2,68517105624561	=ЕСЛИ(A148*A148+B148*B148<=25;1;0)
149	-3,85921811578722	-4,19644764549699	=ЕСЛИ(A149*A149+B149*B149<=25;1;0)
150	2,46147038178655	3,33826715903195	=ЕСЛИ(A150*A150+B150*B150<=25;1;0)
151		число попаданий	=СУММ(C1:C150)
152		число наблюдений	=СЧЁТ(C1:C150)
153		площадь круга	=(C151/C152)*100

Для вивчення впливу статистичної похибки при моделюванні задача вирішувалась для різних значень n, рівних 150, 200, 500, 1000, 2000, 5000 і 10 000. Крім того, для кожного n було проведено 10 прогонів, в кожному з яких використовувалися різні послідовності випадкових чисел з інтервалу [-5, 5].

Номер прогону	Оцінки площі круга при різних кількостях випробувань n
	150	200	500	1000	2000	5000
1	76	80,5	76	78,6	79,55	78,32
2	82	79,5	79,6	78,8	78,85	79,26
3	86	81,5	76,6	77,6	79,1	77,22
4	75	82	78,8	80	79,55	79,34
5	77	72	76,2	79,8	79,4	79,22
6	81	77,5	76,6	77,6	77,4	77,44
7	75	81,5	80,4	78,5	78,1	79,28
8	74	76,5	81,8	79,7	77,2	78,82
9	71	80,5	76,6	76,4	77,76	78,74
10	84	72	81,2	78	78,4	77,74
Середнє	78,1	78,35	78,38	78,5	78,531	78,538
Дисперсія	23,65556	14,28056	5,035111	1,306667	0,789499	0,658618
	Розрахункове значення			78,54

У таблиці наведено результати експерименту, виходячи з яких можна зробити наступні висновки.

1. Зі зростанням кількості згенерованих точок (тобто тривалості прогону моделі) оцінки площі кола наближаються до точного значення (78,54 см²). На рис. 2 показані оцінки площі прогонів 1 і 2 залежно від тривалості прогону n. Ми бачимо, що спочатку оцінки коливаються близько до точного значення, а потім стабілізуються. Ця умова зазвичай досягається після повторення експерименту достатню кількість разів. Спостережуване явище типове для результатів довільної імітаційної моделі. Зазвичай в більшості імітаційних моделей нас цікавлять результати, отримані в стаціонарних умовах.

Рис. 2

2. Вплив перехідних умов зменшується, якщо усереднити результати 10 серій. Це ілюструє рис. 3, на якому показана залежність середнього від n. Крім того, на малюнках видно, що для кожного n при досягненні стаціонарних умов дисперсія зменшується. При зростанні n від 150 до 200 дисперсія різко зменшується з 23,66 до 14,25. За винятком цього інтервалу, такого різкого зменшення дисперсії ніде більше не спостерігається. Останнє зауваження вказує на те, що існує межа, за якою збільшення тривалості прогону моделі вже не дає істотного підвищення точності результату, вимірюваної дисперсією. Це зауваження видається надзвичайно важливим, оскільки затрати на експлуатацію імітаційної моделі прямо пропорційні тривалості прогонів. Тому бажано знайти компроміс між великою точністю (тобто малою дисперсією) і невеликими затратами на процедуру отримання результатів.

Рис.3.