Задание 3. (метод Гаусса)
Пусть задана последовательность чисел {1,2,3,4,6,5,7}. На ее основе требуется построить проверочную матрицу H в канонической форме.
Элемент |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
7 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Код |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Канонический вид матрицы H имеет следующий вид:
Исходя из полученной проверочной матрицы, можно построить соответствующую систему уравнений:
Из проверочной матрицы H можно построить порождающую матрицу G по известной процедуре, транспонируя проверочную часть проверочной матрицы и записывая единичную матрицу.
Например, пусть задана последовательность чисел {7,6,3,4,2,1,5}.
На ее основе требуется построить проверочную матрицу H и уравнения кодирования.
Элемент |
7 |
6 |
3 |
4 |
2 |
1 |
5 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Код |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Приведем матрицу H к каноническому виду, пользуясь методом Гаусса:
Исходя из полученной проверочной матрицы Н, составляем систему уравнений:
x1
x2
x4
x7 = 0
x2 x3 x4 x6 = 0
x1 x2 x3 x5 = 0 следовательно,
x5 = x1 x2 x3
x6 = x2 x3 x4
x7 = x1 x2 x4
Порождающая матрица G =
Строим код. Информационные символы: x1, x2, x3, x4, а защитные символы: x5, x6, x7
|
информационные символы |
защитные символы |
0 |
0000 |
000 |
1 |
0001 |
011 |
2 |
0010 |
110 |
3 |
0011 |
101 |
4 |
0100 |
111 |
5 |
0101 |
100 |
6 |
0110 |
001 |
7 |
0111 |
010 |
8 |
1000 |
101 |
9 |
1001 |
110 |
10 |
1010 |
011 |
11 |
1011 |
000 |
12 |
1100 |
010 |
13 |
1101 |
001 |
14 |
1110 |
100 |
15 |
1111 |
111 |
Декодирование по синдрому
1) Передаётся кодовое слово Х = | 1 1 0 1 0 0 1 |
Принятое кодовое слово Y = | 1 1 0 1 0 0 1 |
Умножаем вектор Y на проверочную матрицу
Вычисления:
1*1 + 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 + 0*0 + 1*1 = 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 0
1*1 + 1*1 + 0*1 + 1*0 + 0*1 + 0*0 + 1*0 = 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*0 + 0*1 + 1*1 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 0
Вывод: синдром S = |000|. Вектор ошибки E = | 0 0 0 0 0 0 0 0 | , т.е. ошибка не обнаружена
2) Рассмотрим случай, когда
передаётся кодовое слово Х = | 1 1 0 1 0 0 1 |
принятое кодовое слово Y = | 1 1 1 1 0 0 1 |
Умножаем вектор Y на проверочную матрицу
Вычисления:
1*1 + 1*1 + 1*0 + 1*1 + 0*0 + 0*0 + 0*1 = 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 0
1*1 + 1*1 + 1*1 + 1*0 + 0*1 + 0*0 + 1*0 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
1*1 + 1*0 + 1*1 + 1*0 + 0*0 + 0*1 + 1*1 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Вывод: синдром S = |011|. Вектор ошибки E = | 0 0 1 0 0 0 0 0 |, указывает на ошибку в третьем разряде (обнаружена ошибка в позиции x3)
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вар. |
№ зада-ния |
Информац. слово |
№ матри-цы |
№ зада- ния |
Информац. слово (Хэмминг) |
№ зада-ния |
Последова-тельность (Гаусс) |
№ кода |
1 |
1 |
1111 |
1 |
2 |
10011 |
3 |
1,3,5,7,2,4,6 |
15 |
2 |
1 |
0111 |
2 |
2 |
101010110 |
3 |
2,3,5,7,1,4,6 |
14 |
3 |
1 |
1011 |
3 |
2 |
01101101011 |
3 |
3,1,5,7,2,4,6 |
13 |
4 |
1 |
0011 |
4 |
2 |
00011 |
3 |
4,1,3,5,2,7,6 |
12 |
5 |
1 |
1101 |
5 |
2 |
111110 |
3 |
5,1,3,7,2,4,6 |
11 |
6 |
1 |
0101 |
6 |
2 |
001010101 |
3 |
6,1,3,5,7,2,4 |
10 |
7 |
1 |
1001 |
7 |
2 |
01001101 |
3 |
7,1,3,5,2,4,6 |
9 |
8 |
1 |
1110 |
8 |
2 |
10100 |
3 |
2,7,5,3,1,4,6 |
8 |
9 |
1 |
0110 |
9 |
2 |
011011 |
3 |
3,2,1,7,6,5,4 |
7 |
10 |
1 |
1010 |
10 |
2 |
1101001 |
3 |
4,7,5,3,1,2,6 |
6 |
11 |
1 |
1100 |
11 |
2 |
11010111 |
3 |
5,6,7,1,2,3,4 |
5 |
12 |
1 |
1100 |
12 |
2 |
001010100 |
3 |
6,1,4,2,3,5,7 |
4 |
13 |
1 |
0111 |
13 |
2 |
1110110101 |
3 |
7,3,5,1,6,4,2 |
3 |
14 |
1 |
1011 |
14 |
2 |
10011 |
3 |
3,1,6,4,2,5,7 |
2 |
15 |
1 |
0011 |
15 |
2 |
10110 |
3 |
4,2,7,5,3,1,6 |
1 |
16 |
1 |
1101 |
16 |
2 |
01101101011 |
3 |
5,2,7,3,1,6,4 |
15 |
17 |
1 |
0101 |
17 |
2 |
000101 |
3 |
6,7,1,2,3,4,5 |
14 |
18 |
1 |
1001 |
18 |
2 |
1111100000 |
3 |
7,5,1,2,4,6,3 |
13 |
19 |
1 |
1110 |
19 |
2 |
001111101 |
3 |
4,3,2,1,7,6,5 |
12 |
20 |
1 |
0110 |
20 |
2 |
01001111 |
3 |
5,4,7,1,2,6,3 |
11 |
21 |
1 |
1010 |
21 |
2 |
110011 |
3 |
6,1,4,3,7,5,3 |
10 |
22 |
1 |
1111 |
22 |
2 |
101000110 |
3 |
7,2,5,1,4,3,6 |
9 |
23 |
1 |
0111 |
23 |
2 |
011011 |
3 |
5,6,3,2,4,7,1 |
8 |
24 |
1 |
1011 |
24 |
2 |
110100 |
3 |
6,4,3,7,2,5,1 |
7 |
Вар. |
№ зад. |
Информац. слово |
Матри-ца |
№ зад. |
Информац. слово |
№ зад. |
Последо-вательность |
№ кода |
25 |
1 |
0011 |
25 |
2 |
11010111110 |
3 |
7,4,1,2,3,6,5 |
6 |
26 |
1 |
1101 |
1 |
2 |
00101010 |
3 |
6,2,7,1,3,4,5 |
5 |
27 |
1 |
0101 |
2 |
2 |
0100110101 |
3 |
7,3,4,5,6,2,1 |
4 |
28 |
1 |
1001 |
3 |
2 |
01111111 |
3 |
1,4,5,6,3,2,1 |
3 |
29 |
1 |
1100 |
4 |
2 |
111111 |
3 |
2,5,6,7,1,3,4 |
2 |
30 |
1 |
0111 |
5 |
2 |
1000011 |
3 |
3,6,7,1,4,5,2 |
1 |
31 |
1 |
1011 |
6 |
2 |
0011100 |
3 |
4,5,1,2,7,6,3 |
15 |
32 |
1 |
0011 |
7 |
2 |
010101 |
3 |
5,7,1,3,4,6,2 |
14 |