2. Связь модуля сдвига с модулем кручения струны

При закручивании струны ее нижний торец испытывает сдвиг относительно верхнего 2. Прямая ВА поворачивается, занимая положение ВА'. Угол  является углом сдвига. По формуле (2) угол сдвига  равен

, (8)

где _ – касательное усилие, приложенное к элементу поверхности dS, расположенному у точки А (см. Рис.3), а G – модуль сдвига.

Из Рис.2

. (9)

Тогда из (8) и (9) имеем

. (10)

Сила, приложенная к элементу поверхности dS, равна , а ее момент .Элемент поверхности dS в полярных координатах ,  равен , откуда

или с учетом (9) найдем

(11)

Полный момент, приложенный ко всему нижнему торцу получается интегрированием (11) по всей площади круга радиуса r:

. (12)

Откуда получаем

. (13)

Сравнивая (13) и (7) получаем для модуля кручения

, (14)

Из соотношения (13) угол закручивания  зависит от модуля сдвига G и обратно пропорционален радиусу струны, взятому в четвертой степени.

3. Крутильные колебания

В данной работе используется крутильный маятник, представляющий собой рамку с телом, жестко соединенную с натянутой стальной струной, закрепленной на обеих концах с установкой.

При выведении рамки с телом из положения равновесия на некоторый угол  создается возвращающий момент силы

, (15)

где коэффициент D – это модуль кручения, множитель 2 в соотношении (15) учитывает наличие двух струн, на которых закреплена рамка. Знак "минус" означает, что крутящий момент возвращает рамку в положение равновесия.

На протяжении времени в несколько периодов трением (сопротивлением) можно пренебречь и крутильные колебания будут незатухающими.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с учетом (15) примет вид

. (16)

Здесь I – момент инерции рамки с телом относительно оси вращения.

Уравнение (16) записывается в стандартной форме

(17)

где

. (18)

Из уравнения (17) следует, что крутильные колебания в отсутствии трения будут гармоническими

. (19)

Амплитуда _m и начальная фаза ₀ определяются из начальных условий.

частота свободных незатухающих колебаний равна

. (20)

Период колебаний рамки с телом с учетом (20) равен

. (21)

Из соотношения (21) вытекает формула для определения модуля кручения

. (22)

Соотношение (22) позволяет по измеренному периоду Т колебаний и известному моменту инерции I вычислить модуль кручения D. Из формулы (14) можно вычислить модуль сдвига G материала струны:

. (23)