Кінематика.
Основні формули.
Радіус-вектор
точки
1 – це вектор, проведений в цю точку з
початку відліку, його проекції на осі
прямокутної системи координат
(Мал.1):
|
,
де
- координати точки.
Вектор
переміщення
з точки 1 у точку 2: 
,
де
-
радіус-вектори точок 1 і 2.
Вектор
середньої швидкості переміщення
за час
:
Вектор
миттєвої швидкості
:
Середня
шляхова швидкість:
,де
=
- шлях, пройдений тілом з точки 1 до точки
2.
Вектор
середнього прискорення:
Вектор прискорення (Мал.2.):
Прискорення точки в проекціях на дотичну і нормаль траекторії:
-
тангенціальне прискорення,
- нормальне
прискорення,
де
- радіус кривизни траєкторії.
Рівноприскорений
рух:
,
,
де
- радіус-вектор початкового положення
тіла,
- його початкова швидкість.
Р
Радіус-вектор
тіла:
ОХ:
ОУ:
|
ух
тіла, кинутого під кутом до горизонту
(опором
повітря нехтуємо,
=10м/с2)
(мал.3):
.
В проекціях на осі: ОХ і ОУ:
.
В проекціях на осі ОХ і ОУ:
Найбільша
висота підйому
,
дальність польоту
.
|
В
ектор
кутової швидкості:
Вектор
кутового прискорення:
Зв’язок
між лінійними і кутовими величинами:
,
,
-
радіус-вектор відносно довільної точки
на осі обертання,
- відстань до осі обертанн
я.
середня
кутова швидкість:
(
рад/с);
середнє
кутове прискоренн
(рад/с2).
Рівномірний
рух по колу:
(рад)
– кутова координата;
(с)
- період
- час одного оберту;
|
|
(1/с)-частота–кількість
обертів,
здійснених
за
1секунду;
(рад/с)
- колова
(циклічна)
частота
– кількість обертів, здійснених за
секунд. При рівномірному русі:
,
Приклади розв’язування задач.
Задача
1.
Рівняння прямолінійного руху тіла
вздовж осі ОХ має вигляд:
.
Знайти швидкість тіла в момент часу
.
В який момент часу після початку руху
тіло змінить напрямок руху на протилежний?
В який момент тіло повернеться в точку
з координатою
?
Дано:
1)
=?
, 2)
=?,
3)
=0,
=?
Розв’язок.
Знайдемо
швидкість і прискорення тіла:
12-8
(м/с) (1)
(м/с2)
(2)
В момент
часу
швидкість
(м/с).
Тіло
змінює напрям руху на протилежний в
момент зупинки (
=0),
отже час
зміни
напрямку руху знайдемо з рівняння: 12-8
=0
і
отримаєм
=1,5
(с) (3)
Знайдемо час зумови задачі ,
якщо =0, то 5+12 -4 2=0,
Запишемо це рівняння в канонічному вигляді: 4 2-12 -5=0, (4)
звідки, розв’язавши його, отримаємо: =3,375 с.
Відповідь: = - 12м/с; =1,5с; = 3,375с.
Задача 2. Один із способів оцінки якості автомобіля ґрунтується на визначенні того, наскільки швидко він розганяється до швидкості 60км/годину. У деяких автомобілів прискорення обмежується не потужністю двигуна, а проковзуванням коліс. Хороші шини забезпечують прискорення приблизно 0,5 . Скільки часу і який шлях потрібний для розгону автомобіля до швидкості 60км/годину?
Дано: =0
=60км/годину = 16,8 м/c
=?, =?
Розв’язок.
Так як початкова швидкість =0 і рух рівноприскорений, то:
, (1)
звідки
час розгону
с
Шлях,
пройдений за час розгону:
м.
По
аналогії з цим прикладом можна визначити
мінімальний час і гальмівний шлях до
повної зупинки автомобіля, якщо його
мінімальне прискорення
м/с2,
а початкова швидкість
м/с2:
, (2)
в
момент зупинки
=0,
отже час до зупинки:
с.
Як і можна було сподіватися, ми отримали такий самий час, як і при розгоні. Отже гальмівний шлях буде дорівнювати 28,3м.
Відповідь: = 3,4с; = 28.3м.
З
адача
3
.Людина знаходиться в кімнаті на п’ятому
поверсі і бачить, як мимо його вікна
пролітає зверху квітковий горщик.
Відстань 2м, що дорівнює висоті вікна,
горщик пролетів за 0,1 с. Висота одного
поверху 4м. Вважаючи
=10
м/с2,
визначте, з якого поверху впав горщик.
Дано:
=2
м
=0.1
с
=4
м.
=?
Розв’язок.
Рух
горщика рівноприскорений (опором повітря
нехтуємо), його початкова швидкість
=0.
Початок координат виберемо в точці
початку руху вісь ОУ спрямуємо з). вниз.
Координата верхньої і нижньої частин
рами вікна
і
,
причому
.
Отже:
(1)
(2)
Враховуючи,
що
,
а
,
отримаємо:
(3)
Знайдемо час падіння тіла до верхньої частини вікна з виразу (3):
=
.(4)
Координата верхньої частини вікна:
м. (5)
Висота
одного поверху
4м,
тому горщик пролетів
поверхів, а падав горщик з
25
поверху.
Відповідь: = 25.
Задача 4. З підводного човна запускається балістична ракета, наведена на місто, яке знаходиться на відстані 3000км від човна. За який час ракета долетить до цілі і яка її стартова швидкість ? При цьому будемо вважати Землю плоскою, прискорення вільного падіння сталим ( =9.8 м/с2 ), опором повітря і води нехтуємо.
Дано:
=
3*106м/с
=?, =?
Розв’язок.
Спочатку вияснимо, під яким кутом треба запустити ракету, щоб вона досягла точки на поверхні Землі. Рух ракети рівноприскорений, тому рівнянням руху є:
1 
(1)
|
ОХ:
ОУ:
Швидкість ракети змінюється за формулою:
В проекціях на осі ОХ і ОУ:
ОХ:
ОУ:
Траєкторія
ракети – парабола. В найвищій точці
траєкторії вектор швидкості паралельний
осі ОХ, отже
і
.
Звідси отримаємо час підйому ракети :
.
(2)
Час руху
ракети від запуску до цілі:
.
(3)
Підставимо в формулу для координати і отримаємо дальність польоту:
(4)
Максимальна
дальність польоту буде досягнута, якщо
ракету націлити під кутом
=450.
Знайдемо початкову швидкість ракети:
=
км/с.
Повний час руху ракети буде:
хв.
З цього прикладу видно, що в випадку ракетного нападу максимальний запас часу становить приблизно 10 хвилин, що замало для евакуації міста.
Вияснимо,
на яку найбільшу висоту піднімається
ракета. Для цього підставимо час
в формулу для
:
м=749 км
Відповідь: = 5,42км/с, = 13хв.
Задача
5.
Тіло рухається по колу так, що його
кутова координата змінюється з часом
за формулою:
,
де
=3
рад/с. а
=
5 рад/с3.
Знайти:
а) залежність кутової швидкості і кутового прискорення від часу; б) час до зупинки;
в) кутове прискорення в момент зупинки.
Дано:
=3 рад/с.
= 5 рад/с3
а)
-?,
б)
-?
в)
-?
Розв’язок.
Модуль кутової швидкості :
(1)
Модуль
кутового прискорення:
(2)
В момент
зупинки (
)
кутова швидкість дорівнює нулю, отже:
(3)
і з (3)
отримаємо, що:
с.
Кутове прискорення в момент зупинки:
рад/с2.
Відповідь:
;
= 0,067с;
= -1рад/с2.
Задача 6. Знайти кутову швидкість хвилинної стрілки на годиннику. а також лінійну швидкість її кінця, якщо довжина стрілки = 1см.
Дано: = 1см=10-2 м.
=?, =?
Розв’язок
Хвилинна стрілка годинника робить один повний оберт за 1 годину (3600 с).
Кутова швидкість стрілки:
. (1)
Лінійна швидкість кінця стрілки : = (2)
Підставимо
числові значення в формули (1) і (2):
=2*3,14:3600=0,0017
рад/с,
0,0017*0,01=17*10-4
м/с.
Відповідь: =0,0017рад/с, =17*10-4м/с
Задача 7. Колесо обертається з кутовим прискоренням 2рад/с2. Через 0,5с після початку руху повне прискорення колеса 0,136м/с2. Знайти радіус колеса.
Дано: = 2рад/с2,
-?
|
|
=
0,5с,
=
0,136м/с2,
Розв’язок.
Кутова
швидкість колеса:
Лінійна
швидкість точки
на
ободі колеса
дорівнює
Тангенціальне
прискорення:
.
Нормальне прискорення:
(4)
Повне
прискорення точки
знайдемо за теоремою Піфагора:
=
(5)
З формули
(5) виразимо радіус колеса
і в
отриману формулу підставимо числові
значення:
=
=
0,062м
Відповідь: =0,06м.