3. Метод трапеций

В настоящей работе изучаются и исследуются методы численного интегрирования Ньютона-Котеса второго (m=2) и третьего (m=3) порядков с постоянным шагом

h_i = h = const, i = 1,2,…,n ,

наиболее часто применяемые в инженерной практике:

1. метод трапеций (m=2, m_A=1)

J_A = h [ f(x₁) + + f(x_n+1)] , (10)

где x_i - определены формулами (3).

2. метод Симпсона (m=3, m_A=2)

J_A = [f(x₁) + 4f(x₂) + 2f(x₃) …+ 4f(x_n) + f(x_n+1)] , (11)

в которой n- чётное число, а x_i- определены формулами (3).

Для достаточно гладких подынтегральных функций формулы (10), (11) дают приближенное значение интеграла J_A , причем ошибки алгоритма

E_A = J  J_A

для них определяются следующими выражениями [1],[2]:

1. Метод трапеций

E_A = , ; (13)

2. Метод Симпсона

E_A = , . (14)

Значение аргумента  в формулах (13), (14) точно не определено [1]. Известно лишь, что оно принадлежит отрезку интегрирования и зависит от метода и шага интегрирования.

При реализации методов (10),(11) на ПК возникает дополнительная ошибка вычислений

E_B = J_A – J_B ,

где J_B - вычисленное на ПК значение интеграла. Можно показать, что при точном вычислении подынтегральных функций f(x) для (10),(11) выполняется приближенное равенство [2],.[3]:

E_B ≈ c_B · n .

Коэффициент c_B зависит от метода интегрирования, разрядности ПК и имеет величину, близкую к «машинному эпсилон» [3]. Поэтому для достаточно гладких подынтегральных функций ошибка алгоритма и ошибка вычислений становятся сравнимыми лишь при больших n , обычно порядка 10³. Следовательно, ошибка вычислений на ПК начинает проявляться лишь тогда, когда требуется высокая точность вычисления интеграла. При небольшом же n основной является ошибка алгоритма E_A и именно ее обычно учитывают при выборе шага интегрирования.

При практическом применении методов (10),(11)) принципиальное значение имеет правильный выбор шага интегрирования, от которого зависит и точность интегрирования, и объём вычислений. Для сокращения объёма вычислений следует выбирать как можно больший шаг интегрирования (как можно меньшее n ). Однако при этом, как видно из формул (13),(14), величина ошибки алгоритма растет. Вычислить E_A по формуле (9) в реальных ситуациях не удается, так как неизвестно точное значение интеграла. Формулы (13),(14) также оказываются неприемлемыми, так как обычно не удается оценить значение производных от подынтегральной функции f(x). Удобным практическим приемом для оценки E_A является правило Рунге [2]. Оно основано на приближенном предположении о том, что полная ошибка интегрирования

E_П = E_А + E_В

совпадает с ошибкой алгоритма E_A и коэффициенты c_A в формулах (13),(14) не зависят от n. Если эта гипотеза выполняется, то значение c_A можно получить, определив разность между значениями интегралов, вычисленных при двух разных значениях n. Действительно, если E_B=0, то эта разность равна разности соответствующих значений E_A (13),(14) при известных значениях n. Составив уравнение и подставив в него значения n и разности интегралов, легко вычислить коэффициент c_A. Знание c_A дает возможность определить погрешность Еa при любом значении n и таким образом определить минимальное n , обеспечивающее требуемую точность вычисления интеграла.