[ Будылин ] Математика 3 семестр

y

d

y = ψ(x)

c

Рис. 9: К расстановке пределов в двойном интеграле

3.2.1.2. Пример 2 Пусть область интегрирования D определена равенством

D = {(x, y, z) R3 : (x, y) Ω , Φ(x, y) 6 z 6 Ψ(x, y)} ,

где Φ и Ψ — непрерывные функции и Ω — плоская область, измеримая по Жордану (т.е. имеющая площадь). Пусть интегрируемая функция f(x, y, z) задана на области D и продолжена за пределы D произвольным образом. Пусть A = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3]

— прямоугольный параллелепипед, содержащий тело D. При этом прямоугольник B =

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 41 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

[a1, b1] × [a2, b2] будет содержать область Ω — проекцию тела D на плоскость xy. Тогда

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 42 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

3.2.2. Объем цилиндрического тела

Теорема 3.2. Пусть D — брус в Rn и f — неотрицательная функция D → R. Пусть Of — подграфик функции f, т.е.

Of = {Q Rn+1 : Q = (P, u) , P D , 0 6 u 6 f(P )} .

Тогда

Of — жорданово множество в Rn+1 f — интегрируема на D ,

при этом

Z

V (Of ) = f .

D

Доказательство. Предположим, что f — интегрируема и пусть E — множество ее точек разрыва. Пусть M = sup |f(P )| и A1, A2, . . . — брусы такие, что

Тогда брусы Bk = Ak × [0, M] , k = 1, 2, . . . покрывают часть графика функции f, где f

— разрывна и

(подчеркнем, что здесь в левой части равенства суммируются (n + 1)-мерные объемы, а справа — n-мерные).

пактное, причем на нем функция f непрерывна и, следовательно, — равномерно непре-

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 44 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Пусть ранг разбиения λ бруса D сделан меньше δ. Если через S обозначить произвольную ячейку разбиения λ, то брусы S × [mS(f), MS(f)] будут покрывать оставшуюся часть графика функции f, при этом

Таким образом, верхняя часть границы подграфика функции f оказывается покрыта системой брусов, суммарный объем которых не превосходит произвольно взятого положительного ε, т.е. имеет меру-ноль. С учетом того элементарного факта, что гиперплоские грани подграфика Of имеют (n + 1)-мерный объем-ноль, получаем, что граница подграфика Of имеет меру ноль, т.е. характеристическая функция χOf — интегрируема, а подграфик Of — является жордановым множеством.

Предположим, теперь, Of — измеримо по Жордану. Тогда по теореме Фубини

Следствие 3.3. Пусть D — жорданово множество в Rn и f — неотрицательная функция D → R. Пусть Of — подграфик функции f. Тогда

Of — жорданово множество в Rn+1 f — интегрируема на D ,

при этом

Z

V (Of ) = f .

D

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 45 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Доказательство. Достаточно заключить D в брус, продолжить функцию f и применить предыдущую теорему к функции fχD.

3.2.3. Принцип Кавальери

Пусть A и B — жордановы множества в R3. Предположим, что сечения этих множеств на высоте z

Az = {(x, y) : (x, y, z) A} иBz = {(x, y) : (x, y, z) B}

имеют одинаковую площадь при каждом z:

z : S(Az) = S(Bz) .

Тогда объемы тел A и B — равны.

Для доказательства заключим тело A в брус D и воспользуемся теоремой Фубини:

Z Z Z Z Z Z

V (A) = χA = dz χA(x, y, z) dxdy = dz χAz (x, y) dxdy = dz S(Az)

D

(здесь мы используем стандартное соглашение не выписывать пределы интегрирования в определенном интеграле, если они определяются естественным заданием интегрируемой функции).

3.2.4. Равенство непрерывных смешанных производных

Теорема Фубини позволяет получить простое доказательство равенства

при условии, что эти производные непрерывны.

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 46 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Действительно, пусть в точке (x0, y0) выполнено неравенство

∂2f − ∂2f > 0 . ∂x∂y ∂y∂x

Тогда в силу непрерывности это неравенство выполнено в некотором прямоугольнике [a, b] × [c, d] (с центром в точке (x0, y0)). По теореме Фубини находим

= f(b, d) − f(a, d) − [f(b, c) − f(a, c)] − {f(b, d) − f(b, c) − [f(a, d) − f(a, c)]} = 0 .

Полученное противоречие доказывает равенство производных.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 47 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

4. Аддитивные функции

4.1. Плотность аддитивной функции

Определение 4.1. Функция множетсва Φ(A) называется аддитивной , если

Φ(A B) = Φ(A) + Φ(B) ,

при условии, что множества A и B не пересекаются. Если

◦◦

A ∩ B = Φ(A B) = Φ(A) + Φ(B) ,

функция Φ называется усиленно аддитивной .

Примерами усиленно аддитивных функций, заданных на жордановых множествах, являются: объем множества V (A) и, более общо, — интеграл (от фиксированной функции

R

f) как функция множества Φ(A) = A f. Заметим, что в последнем случае функция Φ обладает свойством

V (A) = 0 Φ(A) = 0 ,

которое называют регулярностью функции Φ относительно функции V .

В дальнейшем мы всегда будем считать выполненными следующие условия:

•под аддитивностью будет пониматься усиленная аддитивность,

•функции множества будут рассматриваться только на классе жордановых множеств,

•все аддитивные функции будут считаться регулярными относительно функции объема V .

Определение 4.2. Говорят, что последовательность множеств Ak стягивается к точке P и пишут2 Ak → P , если точка P лежит в замыкании любого из множеств данной

2не путать с обозначениями для предельного перехода или отображения

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 48 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

последовательности и произвольная окрестность точки P содержит все множества данной последовательности начиная с некоторого номера:

1. k : P Ak ,

2. r > 0 K : k > K Ak Br(P ) ,

где Br(P ) — шар радиуса r с центром в точке P .

Определение 4.3. Пусть Φ — аддитивная функция множества. Если существует предел

последовательности Φ(Ak) при условии, что последовательность Ak стягивается к точке

V (Ak)

P , и если этот предел не зависит от выбора стягивающейся последовательности, его называют плотностью аддитивной функции в точке P .

Заметим, что плотность аддитивной функции (если она существует), является уже функцией точки. Для выражения того факта, что функция ϕ является плотностью функции Φ, естественно использовать запись

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 49 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

(т.е. если множество [последовательность множеств] A стягивается к точке P , то величины mA(f) и MA(f) стремятся к значению функции f в точке P ). Отсюда (по теореме о сжатой переменной)

Φ(A) → f(P ) . V (A) A→P

Мы увидим ниже, что иных аддитивных функций, имеющих непрерывную плотность, кроме как интегралов от непрерывных функций — не существует.3

Лемма 4.5. Аддитивные функции образуют векторное пространство. При этом, если функции Φ1 и Φ2 имеют плотности, соответственно, ϕ1 и ϕ2, то функция α1Φ1 + α2Φ2 тоже имеет плотность и эта плотность равна α1ϕ1 + α2ϕ2.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе — немедленное следствие линейности операции предельного перехода.

Определение 4.6. Средним значением аддитивной функции Φ на множестве A ненуле-

(т.е. среднее значение аддитивной функции на множестве A не может превышать по абсолютной величине наибольшего среднего значения на ячейках разбиения множества A).

3напомним о принятых нами выше ограничениях, наложенных на рассматриваемый класс аддитивных функций

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 50 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход