[ Будылин ] Математика 3 семестр

Определение 8.3. Путь γ класса C1 называется гладким, если γ0 6= 0 ( t [a, b] :

γ0(t) 6= 0).

B

Рис. 15: Гладкий путь γ

Определение 8.4. Разбиением пути γ : [a, b] → Rn называется разбиение интервала

[a, b].

Определение 8.5. Путь γ называется кусочно гладким, если существует его разбиение

λ = {a = t0 < t1 < t2 < . . . < tk = b}

такое, что пути γ : [ti−1, ti] → Rn (т.е. сужения пути γ на интервалы разбиения) при всех i = 1, . . . k являются гладкими.

Такие пути появляются, например, как составные пути. Именно, если γ1 : [a, b] → Rn и γ2 : [b, c] → Rn — два гладких пути такие, что

γ1(b) = γ2(b) ,

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 101 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

называется композицией путей γ1 и γ2.

Кривая, которую описывает точка γ(t) при изменении параметра t, может иметь достаточно сложную форму. В частности, возможны самопересечения.

Определение 8.6. Путь γ : [a, b] → Rn называется замкнутым, если γ(a) = γ(b). В противном случае путь называется незамкнутым.

Определение 8.7. Незамкнутый путь γ называется простым, если отображение γ обратимо. Замкнутый путь γ : [a, b] → Rn называется простым, если

γ(t1) = γ(t2) и t1 < t2 t1 = a , t2 = b .

Одно и то же множество точек в Rn, которое мы интуитивно воспринимаем как кривую, может быть образом (множеством значений) разных параметризованных путей. Например, верхнюю половину окружности

или используя в качестве параметра полярный угол:

(

x = R cos t ,

t [0, π] .

y = R sin t ,

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 102 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Определение 8.8. Гладкий путь γ1 : [a1, b1] → Rn называется эквивалентным гладкому пути γ2 : [a2, b2] → Rn (что будем обозначать как γ1 γ2), если существует непрерывно дифференцируемое отображение ϕ : [a1, b1] → [a2, b2] такое, что

1.ϕ([a1, b1]) = [a2, b2] ,

2.ϕ0 > 0 .

3.γ1 = γ2 ◦ ϕ .

Заметим, что введенное понятие действительно является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами

столь хорошо известными в отношении знака равенства.

Это определение, полный смысл которого станет ясен чуть позже, позволяет нам отождествить разные параметризованные пути, если, во-первых, их образы совпадают, и если, во-вторых, «движение» вдоль этих путей совершается в одинаковом направлении: векторы скоростей (т.е. производные путей), отнесенные к одной и той же точке графика этих путей, параллельны и сонаправлены:

Определение 8.9. Класс эквивалентных между собой простых гладких путей называется ориентированной [гладкой] кривой. Каждый путь данного класса эквивалентности (т.е. кривой) называется реализацией или параметризацией данной кривой. Кривая называется замкнутой или незамкнутой, если таковыми являются ее параметризации. Если γ : [a, b] → Rn — одна из параметризаций незамкнутой кривой, то точка A = γ(a) называется началом кривой, а точка B = γ(b) — ее концом.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 103 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Определение 8.10. Гладкой кривой в Rn называется множество точек в Rn, которое служит образом некоторого простого гладкого пути.

Пусть кривая является образом простого гладкого пути γ : [a, b] → Rn. Равенство

α(t) = γ((1 − t)a + tb)

определяет путь α : [0, 1] → Rn, эквивалентный пути γ, а равенство

β(t) = γ(ta + (1 − t)b)

определяет путь β : [0, 1] → Rn, не эквивалентный пути γ. Можно показать, что любой

Рис. 16: Противоположные пути

другой простой гладкий путь, чей образ совпадает с кривой , будет эквивалентен либо пути α, либо пути β. Действительно, если η : [c, d] → Rn — простой гладкий путь, чей образ совпадает , то функция ϕ = η−1 ◦ γ будет непрерывным взаимно однозначным отображением [a, b] на [c, d]. При этом γ = η ◦ ϕ и в силу дифференцируемости функций

γ и η

γ0(t)Δt + o(Δt) = η0(ϕ(t))Δϕ + o(Δϕ) .

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 104 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Это равенство влечет за собой существование производной ϕ0(t) и пропорциональность векторов γ0(t) и η0(ϕ(t)), поскольку при t → 0 в силу непрерывности ϕ имеем также

ϕ → 0.8 Таким образом,

γ0(t) = η0(ϕ(t))ϕ0(t) ,

откуда заключаем, что ϕ0 6= 0. По теореме Дарбу ϕ0 является знакопостоянной. Непрерывность ϕ0 будет теперь вытекать из равенства |γ0(t)| = |η0(ϕ(t))|ϕ0(t) в случае положительности ϕ0 и из равенства −|γ0(t)| = |η0(ϕ(t))|ϕ0(t) в случае ее отрицательности. В первом случае путь η эквивалентен пути α, во втором — пути β.

Пути, эквивалентные пути β мы будем называть противоположными по отношению к тем, которые эквивалентны пути α. Запись α −β будет означать, что пути α и β — противоположны.

B

τ(P)

γ

P

A

a b

Рис. 17: Касательный вектор к кривой

Это же свойство может быть охарактеризовано в следующем виде. В каждой точке данной гладкой кривой существует ровно два единичных касательных вектора τ,

8заключение станет очевидным, если данное векторное равенство записать для координат

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 105 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

непрерывно зависящие от точки кривой: в точке γ(t) эти касательные векторы равны соответственно ±ξ(t) , где

ξ(t) = |γ0(t)| .

Подчеркнем, что равенства

(

P = γ(t) ,

t [a, b]

τ(P ) = ξ(t) ,

корректно определяют непрерывное отображение τ : → Rn, т.е. значение касательного вектора τ в точке P не зависит от параметризации данной ориентированной кривой. Действительно, если α и β — произвольные гладкие эквивалентные пути так, что согласно определению α = β ◦ ϕ , ϕ0 > 0, то

где s = ϕ(t) и α(t) = β(s).

Итак, с каждой гладкой кривой ассоциировано ровно две ориентированные гладкие кривые. Выбор любой из них или, что то же самое, выбор направления единичного касательного вектора к кривой (непрерывного на данной кривой), называют выбором ориентации на кривой. Если кривая не замкнутая, ориентация на ней определяется выбором начала и конца для этой кривой.

8.2.Криволинейные интегралы 1-го рода

Пусть γ : [a, b] → Rn — гладкий параметризованный путь и λ = {t0, t1, . . . tk} — его разбиение. Соединяя последовательно точки пути γ(ti) отрезками прямых, получим ломаную

γλ:

γλ = [γ(t0), γ(t1)] [γ(t1, γ(t2))] . . . [γ(tk−1), γ(tk)] .

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 106 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

B

γ

A

a b

Рис. 18: К определению длины пути

Длина ее, по определению, равна сумме длин всех звеньев:

k

X

l(γλ) = |γ(ti) − γ(ti−1)| .

i=1

При продолжении разбиения в силу неравенства треугольника для нормы вектора, длина ломаной может лишь увеличиться:

µ λ l(γµ) > l(γλ) .

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 107 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Длиной пути γ называется точная верхняя грань длин вписанных ломаных:

l(γ) = sup l(γλ) .

λ

Теорема 8.11. Длина гладкого пути γ : [a, b] → Rn конечна и определена равенством

b

ZZ

l(γ) = |γ0(t)| dt = |γ0| .

a[a,b]

Доказательство. Обозначим координаты точки γ(t) через xj(t) , j = 1, . . . n. Для разбиения λ = {t0, t1, . . . tk}

XX

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 108 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 109 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Доказательство. Пусть (в согласии с определением эквивалентности путей) α = β ◦ ϕ, ϕ0 > 0. По теореме о замене переменной в интеграле:

Последнее утверждение позволяет определить интеграл по гладкой кривой .

Определение 8.13. Пусть — гладкая кривая и γ : [a, b] → Rn — некоторая ее параметризация. Пусть f : → R — непрерывная функция. Тогда

a,b]

R

называют также интегралом от функции f по пути γ и обозначают γ f. Величина

Z

l( ) = 1

называется длиной кривой .

Заметим, что криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от ориентации кривой : формула замены переменной в интеграле не чувствительна к знаку якобиана (т.е. к знаку ϕ0 в обозначениях доказательства теоремы 8.12) — теорема 8.12 остается в силе и для путей противоположных.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 110 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход