[ Будылин ] Математика 3 семестр

Добавил:

Studfiles Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Математика

Файл:

cos θ1 cos θ2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.04.2014

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2520 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

интегрируемой функцией. Это означает, что в качестве области интегрирования D может фигурировать не только брус, но и более сложные жордановы области в Rk. Далее, понятие площади поверхности и поверхностного интеграла 1-го рода можно распространить по аддитивности на кусочно–гладкие поверхности, состоящие из конечного числа k-мерных клеток, пересекающихся лишь по клеткам размерности не больше (k − 1). Таким образом, соображения аддитивности и формула замены переменных в кратном интеграле позволяют охватить различные ситуации, возникающие в приложениях. Несколько более подробное обсуждение этих вопросов будет сделано позже при знакомстве с понятием ориентируемого многообразия.

Примеры. 1) Рассмотрим поверхность G, которая задана как график функции z = f(x, y), определенной на области D R2. В этом случае параметризация θ поверхности G может быть описана равенствами

y = y ,

x = x ,

z = f(x, y) ,

откуда

∂f

θ0 =

∂f

det[(θ0)

θ0] =

0 1

+ ∂f

∂f

= 1+

∂y

∂x

1 0

∂f

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

и, следовательно,

S(G) = ZZ

dxdy .

1 +

∂x

∂y

∂f

Аналогично, в случае (n − 1)-мерной поверхности G в Rn, заданной уравнением

xn = f(x1, . . . xn−1) ,

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 191 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

получим

S(G) = . . .

dx1 . . . dxn−1

1 + |grad f|2 .

1 +

∂x1

+ . . . +

∂xn

−

Z Z

∂f

2) Пусть поверхность G определена параметризацией

θ :

где (u, v) D. Тогда

x = x(u, v) ,

y = y(u, v) ,

z = z(u, v) .

θ0 =

∂x

det[(θ0) θ0] =

∂y

+ ∂z

∂z

+ ∂z

∂z

∂u

∂v

∂u

∂v

∂x

∂y

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

∂v

∂z

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

∂v

и, следовательно,

S(G) = ZZD

∂(u, v)

dudv .

∂(x, y)

∂(x, z)

∂(y, z)

3) Более общо, пусть G — двумерная поверхность (клетка) в Rn с параметризацией

x1 = x1(u, v) ,

θ: ...

xn = xn(u, v) ,

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 192 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

где (u, v) D. Тогда

θ0 =

∂x

∂u...1

∂v...1

(θ0)tθ0 =

E F

∂xn

F G

∂u

∂v

где

∂x

E = i=1

∂ui

F = i=1

∂ui

∂vi ,

G = i=1

∂vi

Тогда

S(G) = EG − F 2 dudv .

4) Вычислим площадь поверхности единичной (n − 1)-мерной сферы S1n−1 в Rn.14 В сферических координатах

x1 = cos θ1 ,

x2 = sin θ1 cos θ2 ,

Θ: ...

xn−1 = sin θ1 · . . . · sin θn−2 cos ϕ ,

xn = sin θ1 · . . . · sin θn−2 sin ϕ ,

где θi [0, π], ϕ [0, 2π]. Тогда

− sin θ1

	− sin θ1 sin θ2							. . .					0
			0					. . .					0					.
			...					. . .						...				.
sin θ	1	cos θ	2	·	. . .	·	cos ϕ	. . .	−	sin θ		1	·	. . .		·	sin ϕ
	1		2	·		·			−			1	·			·
sin θ	1	cos θ	2		. . .		sin ϕ	. . .	sin θ		1		. . .			cos ϕ
	1		2	·		·					1	·			·
				·		·						·			·

14сфера не является клеткой, но ее можно представить как объединение клеток

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 193 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

В этой матрице столбцы ортогональны между собой, а длина каждого вектора столбца равна, соответственно,

1,	sin θ1,			sin θ1 sin θ2, . . . sin θ1 · . . . · sin θn−2 ,
откуда	p
					= sinn−2 θ1 · . . . · sin θn−2
и			det [(Θ0)tΘ]
	2π		π		π
S(S1n−1) = Z0		dϕ Z0		sinn−2 θ1 dθ1 . . . Z0		sin θn−2 dθn−2 = nV (B1n) ,

где V (B1n) — объем единичного шара.

13.3.Интегрирование дифференциальных форм

Прежде всего определим интеграл от дифференциальной формы объема, т.е. от n-формы ω в Rn. Пусть e1, . . . en — ортонормированный базис в Rn. Выбор базиса определяет ориентацию пространства Rn. Эту ориентацию можно отождествить с выбором формы объема

Ω = dx1 . . . dxn ,

где формы dx1, . . . dxn дуальны соответствующим векторам базиса e1, . . . en. В силу одномерности пространства форм объема, форма ω пропорциональна (в каждой точке) базисной форме Ω, т.е.

ω = fΩ ,

где f — некоторая функция Rn → R. Считая, что f определена и интегрируема на брусе D, полагаем

Опр.

ω = f .

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 194 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

Так, например, в R3

ZZZ ZZZ

f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dxdydz .

D D

Заметим, что имеет место следующее утверждение.

Теорема 13.7. Пусть θ — непрерывно дифференцируемое отображение Rnu → Rnx и ω

— дифференциальная форма объема на Rnx: ω = fΩx , Ωx = dx1 . . . dxn. Тогда

θ ω = f ◦ θ · det θ0 · Ωu , Ωu = du1 . . . dun .

Доказательство. Прежде всего напомним, что если A — линейное преобразование в Rn, то

n
Xi	. . . en .
A(ej) = Aijei , A(e1) . . . A(en) = det A · e1	. . . en .
=1

Но, по определению,

θ ω = f ◦ θ · θ (dx1) . . . θ (dxn) ,

при этом

θ (dxj) = ∂xj dui = A(duj) .

i=1 ∂ui

Последнее равенство следует рассматривать как определение линейного отображения A в векторном пространстве 1-форм; поскольку суммирование совершается по индексу строки матрицы A, то матрица A совпадает с транспонированной матрицей к матрице Якоби:

	∂x1	∂x1	.
A = (θ0)t , θ0 =	∂u... 1 .. .. ..	∂u...n	.
	∂u1 . . .	∂un	.
	∂xn	∂xn
	∂xn	∂xn

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 195 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

Согласно упомянутому выше свойству внешнего произведения

A(du1) . . . A(dun) = det A · du1 . . . dun = det θ0 · du1 . . . dun .

Следствие 13.8. В условиях предыдущей теоремы при u, v1, . . . vn Rn:

(θ ω)u(v1, . . . vn) = ωθ(u)(θu0 (v1), . . . θu0 (vn)) .

Доказательство. Достаточно заметить, что значение формы du1 . . . dun на векторах v1, . . . vn равно определителю этих векторов:

du1 . . . dun(v1, . . . vn) = v1 . . . vn ,

а по свойству внешнего произведения

θu0 (v1) . . . θu0 (vn) = det θu0 · v1 . . . vn .

Доказанная теорема 13.7 имеет еще одно следствие. Если θ — непрерывно дифференцируемое отображение Rn → Rn, удовлетворяющее условиям теоремы 5.9 о замене переменной, то

θ ω =	±	ω .
	±

Dθ(D)

Знак в формуле зависит от знака определителя det θ0:

Z	θ ω = Z	f ◦ θ · det θ0 = ± Z	f ◦ θ · \| det θ0\| = ±	Z	f = ±	Z	ω .
D	D	D	θ(D)		θ(D)

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 196 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

Это означает, что понятие интеграла от формы зависит от ориентации пространства: при изменении ориентации интеграл меняет знак. Подчеркнем, однако, что по абсолютной величине интеграл от формы не зависит от выбора ортонормированного базиса в Rn. Переход к другому ортонормированному базису осуществляется ортогональным преобразованием θ, при этом det θ = ±1, а в силу линейности θ имеем θ0 = θ. Это доказывает корректность нашего определения.

Пусть теперь G — k-мерная клетка в Rn с параметризацией θ : D → G, т.е. G = θ(D). Пусть, далее, ω — k-форма, определенная в окрестности клетки G. Положим по определению

Опр.

ω = θ ω .

Следует обратить внимание на то, что форма θ ω является формой объема в Rk и интеграл в этом случае был определен выше. Если ω — моном: ω = f dxi1 . . . dxik , то согласно теореме 13.7

θ ω = f ◦ θ · ∂(xi1 , . . . xik ) · du1 . . . duk , ∂(u1, . . . uk)

где ∂(xi1 ,...xik ) — минор матрицы Якоби

∂(u1,...uk)

	∂x1	.. .. ..	∂x1
θ0 =	∂u... 1	.. .. ..	∂u...k	,
	∂u1	. . .	∂uk
	∂xn		∂xn
	∂xn		∂xn

отвечающий выбору строк с номерами i1, . . . ik.

Для выяснения геометрического смысла интеграла заметим , что в силу определения определителя линейного преобразования

dxi1 . . . dxik (θu0 (v1), . . . θu0 (vk)) = ∂(xi1 , . . . xik ) · v1 . . . vk . ∂(u1, . . . uk)

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 197 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

Подставим в эту формулу в качестве векторов vi векторы s1, . . . sk ортонормированного базиса в Rku, дуального к формам du1, . . . duk, при этом s1 . . . sk = 1, тогда

f dxi1 . . . dxik = f(θ(u)) · dxi1 . . . dxik (θu0 (s1), . . . θu0 (sk)) du1 . . . duk

G D

и в общем случае, ввиду равенств θ0

) =

∂θ(u)

∂uj

Z ω = Z ωθ(u)(θu0 (s1), . . . θu0 (sk)) du1 . . . duk = Z

ωθ(u)

∂θ(u)

, . . .

∂θ(u)

du1 . . . duk .

∂u1

∂uk

(13.2)

Здесь справа стоит многократный интеграл от функции. Векторы

∂θ(u)

, . . .

∂θ(u)

явля-

∂u1

∂uk

ются касательными векторами к поверхности G в направлении координатных кривых локальных координат u1, . . . uk, т.е. при движении точки θ(u) по поверхности G, когда меняется лишь одна из координат ui.

Пример. Пусть клетка G имеет параметризацию θ : D → R3 , D = [0, 1] × [0, 1],


определенную равенствами
		x = u + v , y = u − v , z = uv .
Пусть ω = x dy	dz + y dx		dz. Найдем интеграл	RG	ω.
Первый способ.				RG

θ ω = (u + v)(du − dv) (v du + u dv) + (u − v)(du + dv) (v du + u dv)

=(u + v)(u du dv − v dv du) + (u − v)(u du dv + v dv du)

=(u + v)2 du dv + (u − v)2 du dv = 2(u2 + v2) du dv .

Тогда

1	1	1	1	v2 dv = 3 .
GZ ω = 2DZ (u2 + v2) du dv = 2 Z0	u2 du Z0	dv + 2 Z0	du Z0	v2 dv = 3 .
				4

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 198 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

Второй способ.					1 −1 .
			θ0 =		1 −1 .
					1	1
Тогда		1			v	u
	dy dz	1		, −1		= v
			1		1		1
			v		u		1

и
			1	, −1
	dx dz		1	, −1		= v
			1		1			1
			v		u			1


Поэтому опять

−1

= u + v u

= u − v .

Z Z

ω = [(u + v)(u + v) + (u − v)(u − v)] dudv = 43 .

Второй способ будет выигрышнее на формах больших порядков.

13.4.Форма площади

Пусть G — k-мерная клетка в Rn с параметризацией θ : D → G. Напомним, что площадь поверхности G находится по формуле

S(G) = det[(θ0)tθ0] .

Положим N = det[(θ0)tθ0]. Тогда по теореме Бине-Коши, см. 13.3,

N =	1		<X k			\|2 ,
		i1	<X k
	N		\|θi0	1	,...ik

...<i

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 199 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

где					∂(xi1 , . . . xik )
\|	θ0	\|	=					.

	i1,...ik				∂(u1, . . . uk)
В точке x = θ(u) положим
ni1...ik (x) =				1		·	∂(xi1 , . . . xik )
									.
			N(u)				∂(u1, . . . uk)

Определение этих функций не зависит от выбора параметризации клетки G при условии сохранения ориентации клетки. Именно, если ϕ — другая параметризация, ϕ = θ ◦ T и det T 0 > 0, то при x = ϕ(v) значение той же функции будет определятся равенством

	1		∂(xi1 , . . . xi )
ni1...ik (x) =					K = pdet[(ϕ0)tϕ0] .
		·	k	,
	K(v)		∂(v1, . . . vk)

Действительно, как мы видели раньше, см. (13.1),

K = N ◦ T · | det T 0| , т.е. K(v) = N(u) · det Tv0 ,

а согласно правилу дифференцирования сложной функции и теореме умножения определителей

∂(xi1 , . . . xik )

∂(u1, . . . uk)

∂(xi1 , . . . xik )

det T 0 .

∂(v1, . . . vk)

∂(u1, . . . uk)

· ∂(v1, . . . vk)

∂(u1, . . . uk)

Это позволяет нам определить k-форму в Rn

Опр.

i1<X k

ni1...ik dxi1 . . .

dxik .

dS =

...<i

Эта форма и называется формой площади поверхности G, поскольку согласно определения интеграла от формы

Z	dS = Z	i1<...<ik ni1...ik	· ∂(u1		, . . . ukk)	· du1 . . . duk = Z	N = S(G) .
		X		∂(xi1	, . . . xi )
G	D	X				D

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 200 из 245

Полный экран

Закрыть

Выход

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2520 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
25.04.2014517.5 Кб15[ Будылин ] Геометрические вопросы теории дифференциальных уравнений.pdf
#
25.04.20141.99 Mб32[ Будылин ] Вариационное исчисление.pdf
#
25.04.2014517.34 Кб23[ Будылин ] Дифференциальные уравнения.pdf
#
25.04.20142.08 Mб28[ Будылин ] Математика 3 семестр.pdf
#
25.04.20141.07 Mб28[ Будылин ] Ряды и интегралы Фурье.pdf
#
25.04.201444.27 Кб10Математика - Вопросы 4 семестра (Будылин).pdf