Билет 6

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт

в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель

не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные

по многим свойствам.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из

следующих способов:

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом

Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию

ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица

окажется равной A−1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных

матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой.

Сложность алгоритма — O(n3).

БИЛЕТ 7 Свойства обратной матрицы

где det обозначает определитель.

для любых двух обратимых матриц A и B.

где * T обозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор,

и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля

, либо их нет вовсе.

БИЛЕТ 8 Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число

линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми,

если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы

столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается rang A(rgA) или rank A.

Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы A, тогда:

базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

Если A — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы

равно r.

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A∼B для матриц

, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A∼B, то

их ранги равны.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда

, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её

переменных.