Билет 1

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк

и некоторое количество n столбцов. Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками

матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной, а число m=n - ее порядком.

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс

I означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.

Например, матрица   это матрица порядка 2×3, ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ..

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицы

вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ,

идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.

Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый

верхний угол.

Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы

вне главной диагонали равны нулю.

Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е  иногда I) называется диагональная матрица с

единицами на главной диагонали.

Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое

количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если  то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Билет 2

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B,

элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на

это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны

попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый

элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц

5.коммутативность;

6.ассоциативность;

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому

справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над

полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица

является и вектором этого пространства.

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения АхВ) — есть операция

вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов

в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B.

Если матрица A имеет размерность m х n, B — n x k, то размерность их произведения AB = C есть m x k.

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (aij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать

с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число,

комплексно сопряжённое к a.

Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (aij), то AT = (aji). Для комплексных матриц

более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда

на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора,

сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.