Электричество и магнетизм.

Вопрос №1

Электростатическое поле. Закон Кулона. Свойства заряда. Напряжённость. Силовые линии. Принцип суперпозиции.

Электростатическое поле - электрическое поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами.

Закон Кулона

Силы взаимодействия неподвижных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

где – электрическая постоянная.

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая свойство частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Свойства зарядов:

• Существует в двух видах: положительный и отрицательный. Одноимённые отталкиваются, разноимённые – притягиваются.

• Его величина не зависит от системы отсчёта, т.е. не зависит от того движется он или покоится.

• Заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e.

• Заряд любой системы тел (частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему.

• Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда.

Элементарный электрический заряд - e = 1,6 ∙ 10^-19 Кл

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, которая действует на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

Н/Кл = В/м

Как следует из формулы (1) и закона Кулона, напряженность поля точечного заряда в вакууме

или

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, которая действует на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис. 1).

Силовые линии (линии напряжённости) – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора (рис. а).

Д ля однородного поля (когда вектор напряжённости в любой точке постоянен по модулю и направлению) линии напряжённости параллельны вектору напряжённости.

Если поле создаётся точечным зарядом, то линии напряжённости – радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис. б), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис. в).

Принцип суперпозиции

Напряжённость результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Вопрос №2 Потенциал электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности. Связь напряжённости и потенциала.

Потенциал – скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещённого в эту точку.

Единица измерения потенциала - вольт.

Потенциал поля точечного заряда

Потенциал электростатического поля, создаваемого системой зарядов

равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым зарядом в отдельности, т.е.

Эквипотенциальная поверхность - поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения.

Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор силы в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд (рис. 112).

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис. 113).

Связь напряжённости и потенциала

Из выше сказанного следует, что электрическое поле характеризуется двумя физическими величинами: напряженностью (силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). Выясним, как они связаны между собой. Пусть положительный заряд q перемещается силой электрического поля с эквипотенциальной поверхности, имеющей потенциал , на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал (рис. 13.16).

Напряженность поля Е на всем малом пути dx можно считать постоянной. Тогда работа перемещения С другой стороны . Из этих уравнений получаем

(13.22)

Знак минус обусловлен тем, что напряженность поля направлена в сторону убывания потенциала, тогда как градиент потенциала направлен в сторону возрастания потенциала.

Вопрос №3 Поток вектора напряжённости. Теорема Гаусса для потока вектора напряжённости электрического поля.

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N_E.

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

(13.4)

Так как , то

(13.5)

где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

Теорема Гаусса

В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту п оверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/₀, т. е.

Вопрос №4

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ- векторная величина E, являющаяся осн. количеств. хар-кой электрич. поля; определяется отношением силы, действующей со стороны поля на электрич. заряд, к величине заряда (при этом заряд должен быть малым, чтобы не изменять ни величины, ни распределения тех зарядов, к-рые порождают исследуемое поле). В вакууме Н. э. п. удовлетворяет принципу суперпозиции, согласно к-рому полная напряжённость поля в точке равна геом. сумме напряжённостей полей, создаваемых отд. заряж, ч-цами. Для электростатич. поля Н. э. п. может быть представлена как градиент электрич. потенциала j:

Е=-gradj.

В системе СИ Н. э. п, измеряется в В/м.

НАПРЯЖЁННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ-векторная величина Н, являющаяся количеств. хар-кой магн. поля. Н. м. п. не зависит от магн. св-в среды. В вакууме Н. м. п. совпадает с магнитной индукцией В, численно

H=B в СГС системе единиц и

H=В/m0 в Международной системе единиц (СИ), m0 — магнитная постоянная.

В среде Н. м. п. Н определяет тот вклад в магн. индукцию B, к-рый дают внеш. источники поля:

Н=В-4pJ (в системе ед. СГС) или

H=(B/m0)-J (в СИ),

где J— намагниченность среды.

Если ввести магнитную проницаемость среды m, то для изотропной среды

Н=В/mm0 (в СИ).

Единица Н. м. п. в СИ — ампер на метр (А/м), в системе ед. СГС — эрстед (Э);

1 А/м=4pХ10-3 Э»1,256•10-2 Э.

Н. м. п. прямолинейного проводника с током I (в СИ) H=Il2pa (a — расстояние от проводника); в центре кругового тока H=I/2R (R — радиус витка с током I); в центре соленоида на его оси H=nI (n — число витков на ед. длины соленоида). Практич. определение Н в ферромагн. средах (в магн. материалах) основано на том, что тангенциальная составляющая Н не изменяется при переходе из одной среды в другую.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ = dQ/dS — заряд, который приходится на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в каждую из сторон. Возьмем в качестве замкнутой поверхности цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности поля (соsα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, который заключен внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES=σS/ε0, откуда

(1)

Вопрос №5

5

Циркуляция векторного поля

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q0, то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Так как dl/cosα=dr, то

Работа при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2

(1)

от траектории перемещения не зависит, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Значит, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными

Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

(2)

Если в качестве заряда, которого перемещают в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Еdl = Eldl, где El = Ecosα — проекция вектора Е на направление элементарного переме¬щения. Тогда формулу (2) можно представить в виде

(3)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, которое обладает свойством (3), называется потенциальным. Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность.

Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).

Рис.1