- •Определение матрицы.
- •Действиянадматрицами.
- •Транспонированнаяматрица
- •Понятие единичной матрицы:
- •Элементарные преобразования матриц
- •Определитель матрицы
- •Минор матрицы
- •Обратная матрица
- •Система линейных алгебраических уравнений
- •Матричная форма записи линейных алгебраических уравнений.
- •Решение систем линеных алгебраических уравнений.
- •Дискретная случайная величина
- •Непрерывная случайная величина
Определение матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение:
Действиянадматрицами.
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
С = А + В
cij = aij + bij
Аналогичноопределяетсяразностьматриц.
Умножение матрицы на число:
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.
В = k × A
bij = k × aij.
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что
сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.
Транспонированнаяматрица
С каждой матрицей A = (aij) размера связана матрица B = (bij) размера вида
Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так AT. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (aij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .
Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.
В случае квадратной матрицы вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.
Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Понятие единичной матрицы:
Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
Элементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц.
Элементарными преобразованиями строк называют:
перестановка местами любых двух строк матрицы;
умножение любой строки матрицы на константу , ;
прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .
В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу , . и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу , .
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Элементарные преобразования обратимы.
Обозначение указывает на то, что матрица может быть получена из путём элементарных преобразований (или наоборот).