Розподіл частот.

Нехай у вибірці із варіант ознака прийняла значення раз, значення раз, …, значення раз.

Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, називається частотою, а ряд називається рядом частот. Відмітимо, що сума усіх частот повинна дорівнювати об’єму вибірки: .

Статистичний розподіл вибірки встановлює зв’язок між рядом варіант, що зростає або спадає, і відповідними частотами. Як правило, його подають у вигляді таблиці:

			…
			…

Заданий такою таблицею розподіл називають простим незгрупованим статистичним розподілом або розподілом частоти варіанти (рядом розподілу частоти варіанти).

Розподіл частоти середньомісячної зарплати співробітників фірми
282	1	314	5	328	2	350	1
290	2	316	3	330	1	352	1
292	2	318	1	331	2	354	1
296	2	320	1	332	4	356	1
298	4	321	3	334	3	360	1
302	4	322	6	336	2	362	2
304	9	323	2	338	4	364	1
308	1	324	7	340	2	366	1
310	1	325	1	342	4	368	2
312	4	326	3	348	1	381	2

.

Подальшим кроком в обробці даних, що призводить до спрощення досліджень, є їх згрупування. Як видно із останньої таблиці максимальне та мінімальне значення варіанти будуть

.

Різниця цих чисел

називається варіаційним розмахом або розмахом варіант.

Введемо для варіанти інтервали зміни середньої зарплати: 280-290, 290-300,…, 380-390. Кожний інтервал називається класом інтервалів або класом, а число одиниць виміру у цих класах, тобто різниця , називається шириною класу. Використовуючи дані попередньої таблиці, отримуємо:

Згрупований розподіл частоти середньомісячної зарплати співробітників фірми
280-290	1
290-300	10
300-310	14
310-320	14
320-330	25
330-340	16
340-350	7
350-360	4
360-370	7
370-380	0
380-390	2
сума	100

Така таблиця, яка встановлює зв’язок між згрупованим рядом варіант, що зростає або спадає, та сумами їхніх частот по класах, називається згрупованим розподілом частоти варіанти. У нашому прикладі ширина класів однакова і дорівнює , а кількість класів . Зазначимо, що введені величини варіаційний розмах, ширина класів та їх кількість пов’язані співвідношенням

.

Зауваження. Інколи неможливо або небажано вибирати ширину класів однаковою. Неоднакова ширина класів бажана, наприклад, коли значення частоти одного чи декількох класів набагато більша (менша) значень частот інших інтервалів. Як правило, ширина інтервалів зростає (або спадає) і може містити інтервали відкритого типу “більше ніж…”, “менше ніж…”.

ЗГРУПОВАНИЙ РОЗПОДІЛ НАКОПИЧЕНОЇ ЧАСТОТИ.

Часто поряд із розподілом частоти варіанти необхідно мати розподіл пакопиченої (кумулятивної) частоти. Такий розподіл одержується послідовним додаванням частот чергового інтервалу, починаючи з першого і зікінчуючи останнім (див.таблицю):

Згрупований розподіл частоти середньомісячної зарплати співробітників фірми
інтервали платні	частоти	платня	накопичені частоти
280-290	1	<290	1
290-300	10	<300	11
300-310	14	<310	25
310-320	14	<320	39
320-330	25	<330	64
330-340	16	<340	80
340-350	7	<350	87
350-360	4	<360	91
360-370	7	<370	98
370-380	0	<380	98
380-390	2	<390	100
сума	100

Розподіл накопиченої частоти дозволяє відповісти на питання: “Скільки існує варіант, менших, наприклад, 350?” Із таблиці знаходимо: .

РОЗПОДІЛ ЧАСТКИ (ВІДНОСНОЇ ЧАСТОТИ АБО ЧАСТОСТІ).

Часто замість значень частот використовуються відношення частоти варіанти до об’єму вибірки :

,

які називаються частками (відносними частотами або частостями), причому .

Залежність між впорядкованим рядом варіант і відповідними їм частками також називають статистичним розподілом вибірки (див.таблицю):

Згрупований розподіл частки та накопиченої частки середньомісячної зарплати співробітників фірми
інтервали платні	частоти	частки	платня	накопичені частоти	накопичені частки
280-290	1	0,01	<290	1	0,01
290-300	10	0,1	<300	11	0,11
300-310	14	0,14	<310	25	0,25
310-320	14	0,14	<320	39	0,39
320-330	25	0,25	<330	64	0,64
330-340	16	0,16	<340	80	0,80
340-350	7	0,07	<350	87	0,87
350-360	4	0,04	<360	91	0,91
360-370	7	0,07	<370	98	0,98
370-380	0	0,00	<380	98	0,98
380-390	2	0,02	<390	100	1
сума	100	1

Розподіл накопиченої частки дозволяє відповісти на питання: “Яка частка варіант, що менші, наприклад, 350?” Із таблиці знаходимо: частка цих варіант становить 0,87.

ЗГРУПОВАНИЙ РОЗПОДІЛ ЩІЛЬНОСТЕЙ ЧАСТОТИ ТА ЧАСТКИ.

Якщо поділити всі частоти на ширину інтервалу, то отримаємо розподіл щільності частоти вибірки:

.

Якщо поділити всі частки на ширину інтервалу, то отримаємо розподіл щільності частки вибірки:

.

Відзначимо, що поняття щільностей мають глибокий імовірністний смисл.

Уведемо до попередньої таблиці стовпці щільностей частот та часток:

інтервали платні	часто-ти	частки	щіль-ність часто-ти	щіль-ність частки	платня	накопичені частоти	накопичені частки
280-290	1	0,01	0,1	0,001	<290	1	0,01
290-300	10	0,1	1,0	0,010	<300	11	0,11
300-310	14	0,14	1,4	0,014	<310	25	0,25
310-320	14	0,14	1,4	0,014	<320	39	0,39
320-330	25	0,25	2,5	0,025	<330	64	0,64
330-340	16	0,16	1,6	0,016	<340	80	0,80
340-350	7	0,07	0,7	0,007	<350	87	0,87
350-360	4	0,04	0,4	0,004	<360	91	0,91
360-370	7	0,07	0,7	0,007	<370	98	0,98
370-380	0	0,00	0,0	0,000	<380	98	0,98
380-390	2	0,02	0,2	0,002	<390	100	1
сума	100	1

ЗАГАЛЬНА СХЕМА ПОБУДОВИ ЗГРУПОВАНОГО РОЗПОДІЛУ ЧАСТОТ.

1. Визначити найбільше та найменше значення варіанти і визначити варіаційний розмах .

2. Задатися певним числом класів , яке рекомендується брати непарним, при об’ємах вибірки доцільно , а при менших об’ємах вибірки можна .

3. Визначити ширину класів . Для спрощення розрахунків, отримане значення ширини класів слід округлити до найближчого цілого.

4. Встановити границі класів і підрахувати кількість варіант у кожному класі.

5. Визначити частоту для кожного класу і записати ряд розподілу.

ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ.

Нехай є статистичний розподіл частот деякої ознаки .

Означення. Емпіричною функцією розподілу (або функцією розподілу вибірки) називають функцію , яка визначає для кожного дійсного значення частість події , тобто:

,

де - кількість (частота) варіант, які менші від , а - об’єм вибірки.

Зауваження. Інтегральну функцію розподілу генеральної сукупності в математичній статистиці називають теоретичною функцією розподілу. Вона відрізняється від емпіричної функції розподілу тим, що визначає імовірність події , а не її частість. Із теореми Бернуллі випливає, що частість події прямує до імовірності цієї події. Тому доцільно використовувати емпіричну (вибіркову) функцію розподілу для представлення теоретичної фунції розподілу генеральної сукупності.

Між емпіричною функцією розподілу і функцією накопичених частот на кожному класі інтервалів:

.

ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .

Полігоном часток (частостей або відносних частот) називають ламану, відрізки якої з’єднують точки .