30. Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек   ( ) из некоторой области  . Пусть значения функции   известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции   из заданного класса функций, что

• Точки   называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

• Пары   называют точками данных или базовыми точками.

• Разность между «соседними» значениями   — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.

• Функцию   — интерполирующей функцией или интерполянтом.

[править]Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений   определяет соответствующие значения  :

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных, например, при x = 2,5?

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n(x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x₀, x₁, ..., x_n и соответствующих значений функции f(x₀) =  y₀, f(x₁) =  y₁, ..., f(x_n) =  y_n интерполяционная формула Лагранжа имеет вид,где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [x₀, x_n]. Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно y_i (i =), что бывает иногда важно.

31. Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка

Метод Рунге — Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Рассмотрим задачу Коши

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где h — величина шага сетки по x

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h⁴) (ошибка на каждом шаге порядка O(h⁵)).

[править]Прямые методы Рунге — Кутты

Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты 4 порядка. Оно задаётся формулами

где h — величина шага сетки по x и вычисление нового значения проходит в s этапов:

Конкретный метод определяется числом s и коэффициентами b_i,a_ij и c_i. Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия   для  . Если требуется, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие

где   — приближение, полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.