Задача №2, стр 39 (Алгебра, ван дер Варден)
Доказать индукцией по n, что n-1 транспозиций (12),(13),…,(1n) при n>1 порождают симметрическую группу Sn.
Для доказательства нам надобятся следующие свойства перестановок и транспозиций.
Св-во 1. Любая подстановка представима в виде произведения циклов (Алгебра, ван дер Варден, стр.37).
Св-во 2. (1i)(1j)(1i)=(ij)
Св-во3. (1t)…(13)(12)=(12…t)
Доказательство (по индукции). Пусть свойство доказано для t, докажем для t +1.
(1 t+1) (1t)…(13)(12)= (1 t+1){(1t)…(13)(12)}=(1 t+1)(12…t)= (12…t t+1)
Св-во3’. (aw)…(ad)(ac)(ab)=(abcd…w)
Доказательство этого свойства состоит в том, чтобы «заменить» a на 1, b – на 2 и т.д. и воспользоваться свойством 3.
Доказательство (утверждения задачи). Свойства 2 и 3’ гарантируют, что любой цикл представим в виде произведения указанных n-1 транспозиций, а в силу свойства 1 любая подстановка есть произведение циклов и, следовательно, представима в виде произведения транспозиций (12),(13),…,(1n) .
Задача №2, стр 45 (Алгебра, ван дер Варден)
Доказать, что в группе подстановок элемент aba-1 можно получить так: разложить b в произведение циклов и подействовать на символы в этих циклах подстановкой a. Вычислить aba-1 для случая a=(2345), b=(12)(345).
Доказательство. Рассмотрим разложение b в произведение циклов, т.е. b = (p1, …,pk)(q1, …,qm)…(…). И зададим подстановку
d = (p’1 , …,p’k)(q’1, …,q’m)…(…), где p’i =a(pi), q’i =a(qi) и тд. Нам надо доказать, что d= aba-1. Возьмем произвольный элемент p’i =a(pi) и применим к нему подстановки d и aba-1. Получим, что d( p’i )= p’i+1
С другой стороны, действуя последовательно, получим:
a-1 : p’i =a(pi) à pi
b : pi à pi+1
a: pi+1 à a(pi+1) =p’i+1,
т.е. aba-1( p’i )= p’i+1 и подстановки d и aba-1совпадают.
Пример. Вычислить aba-1 для случая a=(2345), b=(12)(345). Применив утверждение задачи, получим
aba-1 =(13)(452) =(13)(245).
Задача №3, стр 45 (Алгебра, ван дер Варден)
Доказать, что симметрическая группа S3 имеет ровно 6 внутренних автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна S3.
Доказательство. Для произвольной группы G отображение fg :xà gxg-1 является автоморфизмом группы G (называемым внутренним) и, в свою очередь, отображение W:GàAutG (где W(g)=fg ) является гомоморфизмом. Следовательно, группа внутренних автоморфизмов изоморфна G тогда и только тогда, когда Ker(W)={e}, т.е. из gxg-1 = x для всех x следует, что g=e. Легко убедиться с помощью задачи №2, стр 45, что это так не только для S3 , но и для любой для Sn . Действительно, пусть g таково, что gxg-1 = x для любой подстановки x из Sn .Возьмем в качестве x=(12…j-1 j+1…n) (j). Из задачи №2, стр 45 следует gxg-1 =( g(1) g(2) g(j-1) g( j+1)… g(n)) (g (j))
и, тем самым, равенство gxg-1 = x возможно только при одинаковом разбиении на циклы перестановок (12…j-1 j+1…n) (j) и (g(1) g(2) g(j-1) g( j+1)… g(n)) (g (j)). Следовательно, g(j)= j.
Так как это верно для любого j, то g - тождественная подстановка, что и требовалось доказать.