- •Формула Байеса
- •26. Дискретная случайная величина, ее характеристики.
- •28. Математическое ожидание случайной величины, его свойства.
- •Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.
- •Определение
- •30. Испытание Бернулли. Биноминальное распределение.
25. Формула полной вероятности и формула Байеса.
Существует система событий (гипотез) ( Н1, Н2 ...Нn ), тогда события А вычисляются по формуле полной вероятности
, где - вероятность гипотезы. - условная вероятность события А при выполнении гипотезы ( .. Говорят она полная, если события попарно несовместны. Сумма вероятности всегда = 1. (напр. Вероятность того, что выпадет орел ½, как и решки тоже ½. В сумме дают единицу).
Существует 2 условия:
Р ( Hi * Hj) =0
р(Н1) + р(Н2)+…+р(Нn)=1
Полная вероятность события А равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.
Пример: лучше мне не написать.
На парах мы записывали это в таблицу, тогда:
|
Р(Нi) |
P(А I Нi) |
Р(Нi) * Р(А I Нi) |
Р(Н1) |
|
0,9 |
0,459 |
Р(Н2) |
0,24 |
0,8 |
0,192 |
Р(Н3) |
0 ,25 |
0 ,7 |
0 ,175 |
Сумма этого столбца и есть ответ Р(А)=0,826.
Если в дано число записано в процентах, то его переводят в число (те делят на 100)
Сумма этого столбца обязательно должна равняться единице.
Если в условии сказано найти что-то еще: напр. Найти вероятность того, что деталь сделана на 1 станке,
то применяем формулу Байеса:
=
0,9 *0,51
0,826
0, 5556
Формула Байеса
Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.
«Физический смысл» и терминология
Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии). Н1+…+ Нn – система гипотез. (пример разобран выше)
26. Дискретная случайная величина, ее характеристики.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями (зависит от закона распределения).
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически.
Пример из инета: У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
называется распределением дискретной случайной величины.
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
Пример из лекции: Пример случайной величины мы рассматривали на примере монеток: О – орел, Р – решка. -))
Случайной величиной называют числовую функцию на пространсве элементарных исходов Ω
Ω={ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР} Х - число орлов.
Хк |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Рк |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8
|
|
Дискретная величина зависит от закона распределения.
Х - упорядоченный набор чисел. (Хк , Рк) - Хк – «пробегат» по всем значениям Х, Рк – вероятность этих значений.Рк=Р(Х=хк).
Также распределение можно записать графически-многоугольник.
РК
3 2 1
|
0
Функцией распределения F(x) называют функцию, созданную следующей функцией:F(x) = P(X-xк)
для дискретной случайной величины F(x) = PК , (хк < Х)
Дискретный (непрерывный) график, строится по отдельным точкам.
.
.
1 2
F
-
+
27. Функция распределения случайной величины, ее свойства.
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
Если x .- случайная величина, то функция F(Х) = Fх (Х) = P(x < Х) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < Х) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее Х.
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
F(Х) определена на всей числовой прямой R;
F(Х) не убывает, т.е. если Х1 Х2, то F(Х1) F(Х2);
F(-∞)=0, F(+∞)=1, т.е. и ;
F(Х) непрерывна справа, т.е .
Пример. Найти функцию распределения случайной величины .
Решение: Ясно, что если , то F(x)=0, так как не принимает значений, меньших единицы. Если , то ; если , то . Но событие <3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,
Итак для имеем F(x)=1/3. Аналогично вычисляются значения функции в промежутках , и . Наконец, если x>6 то F(x)=1, так как в этом случае любое возможное значение (1, 2, 3, 4, 5, 6) меньше, чем x. График функции F(x) изображен на рис. 4.