14. Соответствия. Функции и отображения. Способы задания функций. Привести примеры.

Соответствие - способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества (наряду с отношениями). Частными случаями соответствий являются функции, отображения, преобразования, операция и др. В соответствии между множествами А и В называется подмножество G: GcAxB;

Функцией называется функциональное соответствие. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип А®В (обозначается f: А ® В). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а) = b. Элемент а - аргумент функции, элемент b - значение функции на а.

Отображением А в В называется всюду определенная функция f: А ® В. Отображением А на В называется всюду определенное и при этом сюръективное функциональное соответствие f: A ® B.

Способы задания функции:

• графиком;

• таблицей;

• формулой, описывающей функцию как суперпозицию других (исходных) функций;

• рекурсивной вычислительной процедурой.

Например, функция f(x) = 1 × 2 × 3 ×... × (х-1) × х = х! описывается рекурсивной вычислительной процедурой, задаваемой следующими правилами:

1) f(0) = 1; 2) f(х+1) = f(х) × (x+1).

15. Соответствия. Операции (понятие, бинарные, бинарные операции). Свойства бинарных операций и(ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность). Способы задания операций унарных операций (перечень всех аргументов, список всех пар, формула). Способы задания бинарных операций (Таблица Кэли, список всех троек, формулой). Привести примеры.

Соответствие - способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества (наряду с отношениями). Частными случаями соответствий являются функции, отображения, преобразования, операция и др. В соответствии между множествами А и В называется подмножество G: G c A x B;

Операции – функция, все аргументы значения которой принадлежат одному и тому же множеству.

Функция одного аргументаf(x)=y, имеющая тип M – >M называется унарной операцией.

Функция двух аргументов f(x,y)=z, f: M x M – >M бинарные операции.

Дистрибути́вность — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов :

— дистрибутивность слева;

— дистрибутивность справа.

Если операция × является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа совпадают.

Ассоциативность — свойство любой операции , такое что для неё выполняется равенство:

для любых элементов .

Например, для умножения: .

Коммутативная операция — это бинарная операция , обладающая коммутативностью (от позднелат. commutativus — «меняющийся»), то есть переместительностью:

для любых элементов .

16. Комбинаторика. Основные задачи комбинаторики. История возникновения комбинаторики.

Комбинато́рика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр

(Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба

Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А.Маркова(1856—1922) и А. М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

Основные комбинаторные задачи.

Основными и типичными операциями и связанными с ними задачами комбинаторики являются следующие:

1) образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом, -

составление перестановок;

2) образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов, - составление сочетаний;

3) образование упорядоченных подмножеств - составление размещений.