Первая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) непрерывна в точке х₀ и кроме этого f (x₀) ≠ 0. Тогда существует δ > 0 такое, что для всех х (х₀ − δ; х₀ + δ) функция f (x) имеет тот же знак, что и f (х₀).   Эта теорема характеризует устойчивость знака непрерывной функции.

Вторая теорема Больцано – Коши

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f(a) = A, f (b) = B, то, каково бы ни было число m (A, B), найдётся такая точка х = с (a, b), что f (c) = m (рис. 5.17).   Как частный случай имеет место следующее утверждение. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка отрезка с (a, b), в которой f(c) = 0.   Данная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, граница которой является ось абсцисс, в другую, пересекает эту ось (рис. 5.18).   Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] , то она на этом отрезке принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшими и наибольшими значениями.   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что А < m < B. Рассмотрим на промежутке [а, b] вспомогательную функцию φ (x) = f (x) − m. Эта функция непрерывна на промежутке [а, b] и на концах его имеет разные знаки: φ (a) = f (a) − m = A − m < 0 и φ(b) = f(b) − m = B − m > 0. Тогда, по второй теореме Больцано – Коши, между a и b найдётся точка х = с, для которой φ(c) = m. Что и требовалось доказать.

1. Свойства множества значений функции, непрерывной на промежутке или на отрезке.

2. Свойство об ограниченности: Функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], ограничена на этом отрезке. m  f(x)  M,  m – min f(x) и M – max f(x) на [a, b].

3. Например: функция f(x)=12/x непрерывна на [3; 9]. На этом промежутке функция ограничена: 4/3  f(x)  4.

4. Свойство о достижении крайних значений: Если y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на нём она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

5. Например: функция f(x)=x²-8x+15 непрерывна на отрезке [3; 6]. Следовательно на этом промежутке она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, а именно f_max(x)=f(6)=3, f_min(x)=f(4)= – 1.

Непрерывность основных элементарных функций.

Степенная функция определяется соотношением y = xⁿ, n ≠ 0 . При натуральных значениях n эта функция определена на всей числовой прямой, т. е. х R. При четном показателе степени степенная функция является четной и y принимает положительные значения. Ее графиками служат параболы соответственно второго, четвертого и т.д. порядков, рис. 5.4.    При нечетном показателе функция является нечетной и принимает значения y (− ∞, + ∞) . Ее графиками служат параболы третьего, пятого и т. д. порядков, рис. 5.5.    П о к а з а т е л ь н а я функция y = a^x, (a ≠ 1, a > 0). Область ее определения x (- ∞, + ∞), множество значений y ( 0, + ∞). Если a > 1, то функция монотонно возрастает, а если 0 < a < 1 - монотонно убывает. При этом для любого основания выполняется равенство a⁰ = 1. Следовательно, график любой показательной функции проходит через точку (0; 1), рис. 5.6.    Л о г а р и ф м и ч е с к а я функция. Эта функция является обратной по отношению к показательной. График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у = х. При этом для любого основания а > 0 и а ≠ 1 выполняется условие log_a1 = 0, поэтому график всякой логарифмической функции проходит через точку (1; 0), рис. 5.7.    Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Функции y = sin х и у = cos х определены на всей числовой прямой и имеют множеством значений промежуток [− 1, 1], рис. 5.8.   Функция у = tg х определена при всех значениях , монотонно возрастает в каждом интервале области определения.    Функция у = ctg х определена при всех значениях x ≠ π n, n N, и монотонно убывает в каждом интервале области определения.    Множеством значений тангенса и котангенса служит промежуток (− ∞; + ∞).   Функции у = sin х, у = tg х и у = ctg х − нечетные, их графики симметричны относительно начала координат. Функция у = cos x - четная, ее график симметричен относительно оси Оу.   Тригонометрические функции являются периодическими.    Определение. Функция f (х) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для любых значений аргумента из области определения функции имеет место равенство f (x ± T) = f (x).   Основной период функций у = sin х и у = cos x равен 2·, основной период функций у = tg x и y = ctg x равен .