24. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема Ферма.

Для любого натурального числа n > 2 уравнение не имеет натуральных решений a, b и c.

Теорема Ролля.

Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует, по крайней мере, одна точка a < c < b в которой производная g’ обращается в нуль g’(c)=0.

Теорема Лагранжа.

Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует, по крайней мере, одна точка a < c < b в которой выполняется равенство g(b)-g(a)=g’(c)(b-a).

Теорема Коши.

Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h’(x) № 0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство .

25. Правила Лопиталя.

Условия:

• или ;

• и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

• в проколотой окрестности ;

• существует ,

тогда существует .

26. Исследование функций с помощью первой производной.

• найти решение уравнений y’(х)=0 и y’(х)=бесконечности ;

• точки, “подозрительные” на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

• вычислить значения функции в точках экстремума;

• найти интервалы монотонности функции;

• нанести на эскиз графика экстремальные точки;

• уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

27. Применение второй производной к исследованию функций.

• найти решения уравнений y”(х)=0 и y”(х)= бесконечности ;

• точки, “подозрительные” на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

• вычислить значения функции в точках перегиба;

• найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

• нанести на эскиз графика точки перегиба;

• окончательно построить график функции.

28. Нахождение асимптот графика функции.

• Нахождение вертикальных асимптот;

• Нахождение двух пределов ;

• Нахождение двух пределов : если в п. 2, то и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты .

• Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть.

29. Полное исследование функций и построение графиков.

• Область определения функции (те значения х, которые допустимы при выполнении операций, входящих в функцию).

• Область непрерывности функции и точки разрыва. Область непрерывности чаще всего совпадает с областью определения; необходимо исследовать в изолированных точках, то есть отдельно "выкинутых". Для исследования необходимо найти левый и правый предел в данной точке, если они не равны и оба конечны, или равны бесконечности (хотя бы один из пределов), то в этой точке разрыв первого или второго рода соответственно. Если же пределы равны, то функция непрерывна и в этой точке.

• Исследование на наличие вертикальных асимптот. Как правило, в точках разрыва 2 рода - вертикальная асимптота. Но если из области определения выкидывается целых промежуток точек, то исследовать необходимо на концах этого промежутка.

• Четность, нечетность. Проверяется по определению.

• Периодичность. Заменяем х на х+Т и ищем наименьшее положительное Т. Если такого не существует, то функция не периодична, если же вам удалось его найти, то это период функции. Не периодичность всегда видна, и я доказываю это по второстепенным признакам (например из области определения).

• Исследование на точки экстремума и монотонность. Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. На промежутках находят знаки производной (+ - больше нуля, - - меньше нуля). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с + меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

• Исследование на выпуклость и точки перегиба. Аналогично поступают со второй производной. Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

• Исследование на наличие невертикальных асимптот. Находится предел отдельно на плюс бесконечности и минус бесконечности отношения функции к х (то есть предел от f(x)/x). Если он конечен, то это коэффициент k из уравнения касательной (y = kx+b ). Чтобы найти b, нужно найти предел на бесконечности в ту же сторону (то есть если k на плюс бесконечности, то и b на плюс бесконечности) от разности (f(x)-kx). Подставляем b в уравнение касательной. Если k или b найти не удалось, то есть предел равен бесконечности или не существует, то асимптот нет.

• Точки пересечения с осями координат. С осью Oy y=f(0).

• С осью Ох f(x)=0.

• Вычисление пределов на концах области определения.

• Построение графика функции, при необходимости находятся несколько дополнительных точек.

• Определяют по графику область значений и ограниченность функции.