II. Маккензи торларының кейбір ерекшеліктері

2.1 Торлардың конгруэнциялар торлары

L торындағы θ эквивалентті қатынасы (яғни рефлексивті, симметриялы және транзитивті бинарлық қатынас) осы тордағы конгруэнция деп аталады, егер а0 ≡ b0 (θ) мен а1 ≡ b1 (θ) екі қатынасынан а0 Λ а1 (θ) екі қатынасы (стабильдік қасиеті) алынса, мұндағы а0 , а1 , b0 ,b1 є L. Конгруэнциялардың қарапайым мысалдары ретінде төмендегідей анықталатын 0 – нөлдік пен 1 – бірлік конгруэнцияларын келтіруге болады :

1. x ≡ y (0) < = > x = y.

2. x ≡ y (1) барлық x пен y үшін.

Кез келген бинарлық қатынастың конгруэнция болуының белгісі былай анықталады :

L торындағы рефлексивті бинарлы қатынас конгруэнция

болады, сонда тек сонда ғана, егер төменгі үш орындалса (барлық x, y, f, t є L үшін) :

1. x ≡ y (θ) < = > x Λ y ≡ x V y (θ),

2. x ≤ y ≤ f, x ≡ y (θ), y ≡ f (θ) → x ≡ f (θ),

3. x ≤ y, x ≡ y (θ) → x Λ t ≡ y Λ t (θ), x V t ≡ y V t (θ).

С(L) арқылы " " енгізу қатынасына қатысты ішінара реттелетін L торының барлық конгруэнциялар жиынын белгілейміз. Сонда С(L) жиыны L торының барлық конгруэнциялар торы деп аталады.

2.1 M3, l1, l2,…, l15 торларының конгруэнциялар торлары

1.С(m3) торы

Ең алдымен M3 диамант торының барлық конгруэнцияларын табамыз (1-сурет)

Конгруэнцияларды анықтау үшін стабильдік қасиетті қажетінше пайдаланамыз. Осы әдісті M3 диамантына барынша қолданамыз. Конгруэнция рефлексивті және транзитивті болғандықтан кез-келген торда нольдік пен бірлік конгруэнциялары міндетті түрде болады. Осы тордағы аталған екі конгруэнцияны мына түрде енгізуге болады:

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5 } θ1 = { 1 2 3 4 5 }

Енді M3 торында θ0 мен θ1 конгруэнцияларынан басқа конгруэнциялар бар ма, жоқ па тексерейік

1 ≡ 2 (θ), θ є С(M3) болсын. Ары қарай, мүмкіндігінше стабильді қасиетті қолданайық.

1 V 3 ≡ 2 V 3 (θ), бірақ ), 1 V = 3, 2 V 3 = 5 қабырғаларын таяқшамен болғандықтан 3 ≡ 5 (θ).Осыларға ұқсас алғашқы 1 ≡ 2 (θ) қатынасынан алынатын барлық қатынастарды тор диаграммасында сәйкес белгілеу арқылы көрсеткен ыңғайлы (1-сурет).

1 V 4 ≡ 2 V 4 (θ) → 4 ≡ 5 (θ),

4 Λ 3 ≡ 5 Λ 3 (θ) → 1 ≡ 3 (θ),

1 V 2 ≡ 3 V 2 (θ) → 2 ≡ 5 (θ),

2 Λ 4 ≡ 5 Λ 4 (θ) → 1 ≡ 4 (θ),

Біз барлық мүмкін қатынастарды тапқанымыз көрініп тұр, сонымен θ0 = θ1 конгруэнциясын алдық.

В.1 кестесі көмегімен басөа конгруэнциялардың жоқ екенін байқаймыз, яғни k ≡ n (θ), k,n = 1,2,3,4,5 үшін алынған конгруэнциялар табылған конгруэнцияларға сәйкес келулері керек, кері жағдайда конгруэнциялар саны толық емес.

4 кестемен С(M3) конгруэнциялар торы берілген, осы кесте көмегімен

С(M3) конгруэнциялар диаграммасын қурамыз (С.1-сурет)

Λ\V	θ0	θ1
θ0		θ1
θ1	θ0

Алдағы уақытта қарастыратын жағдайлардың өте көптігінен конгруэнцияларды табу көрсетілмейді.

2. С(L1) торы

L1 торының барлық конгруэнцияларын табамыз (А.2-сурет).

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ,

θ1 = { 1 2 3 5, 4 6 7 } U θ0,

θ2 = { 1 3, 2 5,4 6, 7 } U θ0,

θ3 = { 1 3 4 6, 2 5 7 } U θ0,

θ4 = { 1 2 3 4 5 6 7 } U θ0 .

B.2 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялар жоқ екеніне көзімізді жеткіземіз.

5 кестемен С(L1) конгруэнциялар торы анықталады, осы кесте көмегімен С(L1) конгруэнциялар торы диаграммасын құрамыз (С.2-сурет).

5-кесте

Λ\V	θ0	θ1	θ2	θ3	θ4
θ0		θ1	θ2	θ3	θ4
θ1	θ0		θ1	θ4	θ4
θ2	θ0	θ2		θ3	θ4
θ3	θ0	θ2	θ2		θ4
θ4	θ0	θ1	θ2	θ3

3. С(L2) торы

L2 торының барлық конгруэнцияларын табайық (А.3-сурет).

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ,

θ1 = { 1 , 2 5, 3 6, 4 7 } U θ0,

θ2 = { 1 2 5, 3 4 6 7 } U θ0,

θ3 = { 1 3 6, 2 4 5 7 } U θ0,

θ4 = { 1 2 3 4 5 6 7 } U θ0 .

B.3 кесте көмегімен басқа конгруэнциялар жоқ екен көреміз. 6 кестеде С(L2) торының құрылымы берілген, енді осы кестені пайдаланып С(L2) конгруэнциялар торының диаграммасын саламыз (С.3-сурет).

6-кесте

Λ\V	θ0	θ1	θ2	θ3	θ4
θ0		θ1	θ2	θ3	θ4
θ1	θ0		θ2	θ3	θ4
θ2	θ0	θ1		θ4	θ4
θ3	θ0	θ1	θ1		θ4
θ4	θ0	θ1	θ2	θ3

4. С(L3) торы

L3 торының барлық конгруэнцияларын анықтайық (А.4-сурет).

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ,

θ1 = { 1 2, 3 5 6, 4 7 } U θ0,

θ2 = { 1 2 3 5 6, 4 7 } U θ0,

θ3 = { 1 2, 3 4 5 6 7 } U θ0,

θ4 = { 1 2 3 4 5 6 7 } U θ0 .

B.4 кесте көмегімен басқа конгруэнциялар жоғын білеміз. 7 кестеде С(L3) конгруэнциялар торының құрамы көрсетілген, осы кестені пайдаланып С(L3) конгруэнциялар торының диаграммасын құрамыз (С.4-сурет).

7-кесте

Λ\V	θ0	θ1	θ2	θ3	θ4
θ0		θ1	θ2	θ3	θ4
θ1	θ0		θ2	θ3	θ4
θ2	θ0	θ1		θ4	θ4
θ3	θ0	θ1	θ1		θ4
θ4	θ0	θ1	θ2	θ3

5. С(L4) торы

L4 торының барлық конгруэнцияларын табайық (А.5-сурет).

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } ,

θ1 = { 1 2 3 5, 46 } U θ0,

θ2 = { 1 2 3 4 5 6 } U θ0,

B.5 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялардың жоқтығын анықтаймыз.

8 кестеде С(L4) конгруэнциялар торының құрылымы көрсетілген, осы кестені қолданып С(L4) торының диаграммасын құрамыз (С.5-сурет).

Λ\V	θ0	θ1	θ2
θ0		θ1	θ2
θ1	θ0		θ2
θ2	θ0	θ1

8-кесте

5. С(L5) торы

L5 торының барлық конгруэнцияларын табайық (А.6-сурет).

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } ,

θ1 = { 1 5, 2 3 4 6 } U θ0,

θ2 = { 1 2 3 4 5 6 } U θ0,

B.6 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялардың жоқтығын байқаймыз.

9 кестеде С(L5) конгруэнциялар торының құрылымы көрсетілген, осы кестені қолданып С(L5) торының диаграммасын құрамыз

(С.6 -сурет).

9-кесте

Λ\V	θ0	θ1	θ2
θ0		θ1	θ2
θ1	θ0		θ2
θ2	θ0	θ1

5. С(L6) торы

L6 торының барлық конгруэнцияларын табамыз (А.7-сурет).

θ0 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ,

θ1 = { 1 2 3 4 6 7, 5 8 } U θ0,

θ2 = { 1 5, 2 3 4 6 7 8 } U θ0,

θ3 = { 1 2 3 4 5 6 7 8 } U θ0,

θ4 = { 1, 2 3 6, 4 7, 5, 8 } U θ0,

θ5 = { 1, 2 4, 3 6 7, 5, 8 } U θ0,

θ6 = { 1, 2 3 4 6 7, 5, 8 } U θ0,

θ7 = { 1, 2, 3 6, 4, 5, 7, 8 } U θ0

B.7 кестесі көмегімен басқа конгруэнциялардың жоқтығын байқаймыз.

10 кестеде С(L6) конгруэнциялар торының құрылымы көрсетілген, осы кестені қолданып С(L6) торының диаграммасын құрамыз

(С.7 -сурет).

10 – кесте

Λ\V	θ0	θ1	θ2	θ3	θ4	θ5	θ6	θ7
θ0		θ1	θ2	θ3	θ4	θ5	θ6	θ7
θ1	θ0		θ3	θ3	θ1	θ1	θ1	θ1
θ2	θ0	θ6		θ3	θ2	θ2	θ2	θ2
θ3	θ0	θ1	θ2		θ3	θ3	θ3	θ3
θ4	θ0	θ4	θ4	θ4		θ6	θ6	θ4
θ5	θ0	θ5	θ5	θ5	θ7		θ6	θ5
θ6	θ0	θ6	θ6	θ6	θ4	θ5		θ6
θ7	θ0	θ7	θ7	θ7	θ7	θ7	θ6