2. Условия Коши-Римана.

Теорема (необходимые условия дифференцирования). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функции имеют частные производные в точке удовлетворяют следующим условиям:

.

Условия (*) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство.

Пусть . Какую бы не выбрали траекторию отношение будет стремится к одному и тому же числу.

Выберем 2 траектории.

1. (действительная ось)

2. (мнимая ось)

1. 

.

2. .

Сравнивая вещественные и мнимые части первого и второго уравнения получаем условие Коши-Римана.

Пример.

1-ое условие не выполняется не дифференцированная.

Замечание (достаточное условие дифференцирования).

Можно доказать, что если функции имеют непрерывные частные производные в точке удовлетворяющие условиям Коши-Римана. . Дифференцированы в точке . Это условие и является достаточным.

§3. Аналитические функции.

Функция комплексной переменной называется аналитической в точке , если она дифференцирована в и в некоторой ее окрестности. Функция аналитическая в каждой точке области D, называется аналитической в D (или аналитическая на D).

Если функция аналитическая в , то эта точка называется правильной точкой функции. Если же функция не аналитическая в , но аналитическая в выколотой окрестности, то такая точка называется особой точкой данной функции.

Пример.

, точка особая точка, остальные правильные.

Пусть - аналитическая в области D, причем дважды непрерывно дифференцируемы в области D. Запишем условия Коши-Римана. . Продифференцируем первое по x, второе по y:

.

Такое уравнение называется уравнением Лапласа. Функции, которые удовлетворяют уравнения Лапласа называются гармоническими. Аналогично, если продифференцировать первое по y, второе по x, то получим. Что и функция - также является гармонической.

Гармонические функции , удовлетворяющие условиям Коши-Римана называются сопряженными.

Можно доказать следующее утверждение. Всякая гармоническая функция является вещественной, мнимой частью некоторой аналитической функции.

1. Интеграл по контуру от функции комплексных переменных.

Пусть в некоторой области определена , непрерывна и однозначна. Пусть в области задана кусочно-гладкая, ориентированная прямая l. Разобьем ее на n частей.

Ч ерез - длину каждого участка кривой. На каждом участке кривой выберем точку . Составим интегральную сумму , если существует конечный предел , где , который не зависит от способа разбиения кривой на части и выбора точки , то он называется интегралом от по l: .

Если функцию представить в виде: и ,

то .

Если кривая l задана параметрически и .

.

Пример.

; Г:

Основные свойство контурных интегралов.

1. Линейность

.

.

3. Аддитивность

Если , причем =1 точка, то .

4. Оценка величины модуля интеграла

Пусть , L- длина прямой l, тогда .