- •Экзаменационный билет № 1 по математическому анализу
- •3. А) Вычислить ;
- •3. А) Исследовать на непрерывность функцию ;
- •А) Исследовать на непрерывность функцию ;
- •А) Вычислить ;
- •2. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции.
- •Эквивалентные функции. Теорема о замене функций на эквивалентные в произведении и в отношении (при вычислении пределов). Таблица эквивалентностей.
- •Понятие дифференцируемости функции в точке. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- •А) Вычислить ;
- •Первый замечательный предел.
- •Первый замечательный предел: .
- •Правило Лопиталя.
Экзаменационный билет № 1 по математическому анализу
Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
Критерий монотонности функции.
а) Вычислить ;
б) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба: ;
в) Найти , если .
Бесконечно малые функции и их свойства.
Теорема Лагранжа. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.
а) Вычислить, используя правило Лопиталя ;
б) Найти дифференциал функции в точке x0:
;
в) Исследовать на непрерывность функцию .
Теорема об арифметических операциях с пределами функций.
Критерий постоянства функции.
а) Вычислить, используя правило Лопиталя ;
б) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба ;
в) Найти все асимптоты графика функции .
Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Правило Лопиталя.
а) Исследовать на непрерывность функцию ;
б) Найти производную функции ;
в) Вычислить: .
Первый замечательный предел.
Дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.
а) Найти все асимптоты графика функции ;
б) Найти вторую производную функции ;
в) Вычислить: .
Определения непрерывности функции. Доказательство непрерывности по определению функций: .
Теорема об арифметических операциях с дифференцируемыми функциями, следствие.
а) Найти производную функции ;
б) Вычислить ;
в) Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .
Критерий существования у функции конечного предела.
Понятие производной функции в точке. Вывести производные функций: .
3. А) Вычислить ;
б) Найти дифференциал функции ;
в) Найти интервалы монотонности и точки экстремума .
Бесконечно большие функции (б.б.ф.) и их свойства (б/д). Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Понятие производной функции. Вывести производные функций: .
а) Найти асимптоты графика функции ;
б) Найти производную функции ;
в) Вычислить: .
Точки разрыва и их классификация.
2. Понятие точки локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума.
3. А) Исследовать на непрерывность функцию ;
б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на [-1; 1];
в) Найти дифференциал функции в точке .
Теорема об арифметических операциях с непрерывными функциями.
Необходимое условие экстремума. Примеры, показывающие, что приведенное в теореме условие не является достаточным.
А) Исследовать на непрерывность функцию ;
б) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба: ;
в) Вычислить, используя правило Лопиталя .
1. Теорема о единственности предела.