- •4. Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
- •(Это не все свойства их очень много )
- •6.Число e
- •Сравнение бесконечно малых Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость . [править] Определения
- •13. Признаки существования предела (сходимости)
1.Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Определение
Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.
Суммой числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn + yn.
Разностью числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn − yn.
Произведением числовых последовательностей xn и yn называется числовая последовательность (zn) такая, что .
Частным числовой последовательности xn и числовой последовательности yn, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность
2. Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
(xn) ограниченная сверху
Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
(xn) ограниченная снизу
Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
(xn) ограниченная
Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
(xn) неограниченная
3. Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.
4. Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
Свойства. Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность (xn) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / xn), которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
(Это не все свойства их очень много )
5. Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Свойства.бмп Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
6.Число e
Последовательность , имеет конечный предел, называемый числом е:
7. Область определения функции — множество, на котором задаётся функция
Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
8. Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
ВИДЫ (тыкай мышкой)
9. 1)Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
2) Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
4)Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
10. Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.
11. арифметические операции над пределами). Если limx af(x) = A, limx ag(x) = B, то
limx a[f(x) g(x)]=A B,
limx af(x)g(x) = AB
limx af(x)/g(x) = A/B, B 0
12. бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x a, если
limx af(x) = 0
бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x a или в точке a, если для любого положительного числа найдется такое положительное (), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|< будет выполнено неравенство |f(x)|> .
Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x. Приведем его в символической записи:
limxf(x) = >0 ()>0 x:|x|> |f(x)|>.
Предложение . (x) бесконечно малая функция при x a 1/(x) — бесконечно большая при x a