Севастопольський інститут банківської справи

Української академії банківської справи Національного банку України

Кафедра фінансів та кредиту

Практичне завдання до екзаменаційного білету № 26

з дисципліни «Економіко-математичне моделювання: оптимізаційні методи та моделі»

освітньо-професійної програми підготовки за напрямами

6.030502 – «Економічна кібернетика», 6.030503 – «Міжнародна економіка», 6.030508 – «Фінанси і кредит», 6.030509 – «Облік і аудит»

1. Розв’язати наступну задачу: компанія контролює три фабрики А₁, А₂, А₃, здатні виготовляти 150, 60 та 80 тис.од. продукції щотижня. Компанія уклала договір з чотирма замовниками В₁, В₂, В₃, В₄, яким потрібно щотижня відповідно 110, 40, 60 та 80 тис.од. продукції. Вартість виробництва та транспортування 1000 од. продукції замовниками з кожної фабрики наведено в таблиці.

Фабрика	Вартість виробництва і транспортування 1000 од. продукції за замовниками
	В1	В2	В3	В4
А1	4	4	2	5
А2	5	3	1	2
А3	2	1	4	2

Визначити для кожної фабрики оптимальний план перевезення продукції до замовників, що мінімізує загальну вартість виробництва і транспортних послуг.

2. Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування.

1. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць – А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. 1.

Таблиця 1 – Тривалість виготовлення книжкових полиць

Верстат	Тривалість обробки полиці моделі, хв.		Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень
	А	В
1	30	15	40
2	12	26	36

Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В – 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.

Необхідно визначити обсяги виробництва книжкових полиць цих двох моделей, що максимізують прибуток фірми.

Розв’язати задачу графічним методом.

2. Однорідний вантаж, зосереджений у m постачальників в обсягах a_i ( ) необхідно поставити n споживачам в обсягах b_j ( ). Відомі с_ij ; ) – вартості перевезення одиниці вантажу від кожного i-го постачальника до кожного j-го споживача. Необхідно скласти такий план перевезень, при якому запаси усіх постачальників вивозяться повністю й сумарні витрати на перевезення усього вантажу мінімальні. Побудувати опорний план транспортної задачі методами мінімальної вартості, північно-західного кута.

a = (30; 50; 20);

b = (15; 15; 40; 30);

1. Однорідний вантаж, зосереджений у m постачальників в обсягах a_i ( ) необхідно поставити n споживачам в обсягах b_j ( ). Відомі с_ij ; ) – вартості перевезення одиниці вантажу від кожного i-го постачальника до кожного j-го споживача. Необхідно скласти такий план перевезень, при якому запаси усіх постачальників вивозяться повністю й сумарні витрати на перевезення усього вантажу мінімальні. Побудувати опорний план транспортної задачі методами мінімальної вартості, північно-західного кута.

a = (40; 30; 35);

b = (20; 34; 16; 10; 25);

2. Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування. Визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач.

1. Комерційна фірма рекламує свою продукцію, використовуючи місцеві радіо- та телевізійну мережі. Витрати на рекламу в бюджеті фірми становлять 10 000 грн на місяць. Одна хвилина радіореклами коштує фірмі 5 грн, а телереклами – 90 грн. Фірма має намір використовувати радіорекламу принаймні вдвічі частіше, ніж рекламу на телебаченні. Досвід свідчить, що обсяг збуту, який забезпечує 1 хв телереклами, у 30 разів перевищує обсяг збуту, що забезпечує 1 хв радіореклами.

Визначити оптимальний розподіл коштів, які щомісяця мають витрачатися на рекламу, за якого обсяг збуту продукції фірми був би найбільшим.

Розв’язати задачу графічним методом.

2. Для плану визначити, чи він є оптимальним для наступної задачі (застосовуючи теореми двоїстості й не розв’язуючи задачі симплексним методом):

1. Невелике сільськогосподарське підприємство спеціалізується на вирощуванні овочів, зокрема капусти та томатів, використовуючи для підвищення їх урожайності мінеральні добрива (фосфорні та калійні). Норми внесення мінеральних добрив під кожну культуру та їх запаси у господарстві наведені в таблиці:

Таблиця 1 – Норми внесення мінеральних добрив та їх запаси

Мінеральні добрива	Норма внесення добрива під культури, кг діючої речовини / га		Запас добрив, кг діючої речовини
	капуста	томати
Фосфорні	150	400	6000
Калійні	500	300	9000

Для вирощування овочів відведено земельну ділянку площею 20 га. Очікуваний прибуток господарства від реалізації 1 ц капусти становить 10 умовних одиниць, а 1 ц томатів – 20. Середня врожайність капусти в господарстві дорівнює 300 ц/га, а томатів – 200 ц/га.

Визначити такий варіант розміщення культур на земельній ділянці, який максимізував би прибуток господарства за умови, що витрати мінеральних добрив не перевищують їх запасів.

Розв’язати задачу графічним методом.

2. Для плану визначити, чи він є оптимальним для наступної задачі (застосовуючи теореми двоїстості й не розв’язуючи задачі симплексним методом):

1. Фірма виготовляє продукцію А та В, використовуючи для цього два види сировини, добові запаси якої мають не перевищувати відповідно 210 та 240 кг. Витрати сировини для виготовлення одиниці продукції кожного виду наведені в таблиці:

Сировина	Норма витрат сировини для виготовлення одиниці продукції, кг
	А	В
1	2	5
2	3	4

Працівники відділу збуту фірми рекомендують, щоб виробництво продукції В становило не більш як 65 % загального обсягу реалізації продукції обох видів. Ціни одиниці продукції А та В дорівнюють відповідно 10 та 40 грн. Визначити оптимальний план виробництва продукції, за якого максимізується дохід фірми. Розв’язати задачу графічним методом.

2. Підприємство виготовляє продукцію видів А, В і С, для чого використовує три види ресурсів І, II, III. Норми витрат усіх ресурсів на одиницю кожної продукції та обсяги ресурсів на підприємстві наведено в табл.1. Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А - 10 ум.од., В -14 ум.од. і С - 12 ум.од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший доход.

Вид ресурсу	Норма витрат на одиницю продукції за видами			Запас ресурсу
	А	В	С
І II III	4 3 1	2 1 2	1 3 5	180 210 244

Остання симплекс-таблиця, що містить оптимальний план задачі, має такий вигляд

Базис	Сб	А0	9	10	16	0	0	0
			X1	X2	X3	X4	X5	X6
X2 X5 X3	14 0 12	82 80 16	19/8 23/8 -3/4	1 0 0	0 0 1	5/8 1/8 -1/4	0 1 0	-1/8 -5/8 1/4
		1340	57/4	0	0	23/4	0	5/4

З наведеної останньої симплексної таблиці початкової задачі запишіть оптимальні плани і ; визначте дефіцитні й недефіцитні ресурси, рентабельну та збиткову продукцію.

1. Фірма виготовляє деталі видів А та В до автомобілів, ринок збуту яких практично необмежений. Будь-яка деталь має пройти послідовну обробку на трьох верстатах, тривалість використання кожного з яких становить 10 год/добу. Тривалість обробки однієї деталі на кожному верстаті наведена в таблиці:

Таблиця 1 – Тривалість обробки деталей

Деталь	Тривалість обробки деталі за верстатами, хв.
А	10	6	8
В	5	20	15

Прибуток від оптової реалізації однієї деталі видів А та В становить відповідно 20 та 30 грн.

Визначити оптимальні добові обсяги виробництва деталей кожного виду, що максимізують прибуток фірми. Розв’язати задачу графічним методом.

2. Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

.

1. Підприємство виготовляє письмові столи типів А та В. Для одного столу типу А необхідно 2 м² деревини, а для столу типу В – 3 м². Підприємство може отримувати до 1200 м² деревини на тиждень. Для виготовлення одного столу типу А потрібно 12 хв роботи обладнання, а для моделі В – 30 хв. Обладнання може використовуватися 160 годин на тиждень. Оцінено, що за тиждень можна реалізувати не більше 550 столів.

Відомо, що прибуток від реалізації одного письмового столу типу А становить 30 грн, а типу В – 40 грн. Скільки столів кожного типу необхідно виготовляти за тиждень, щоб прибуток підприємства за вищезазначених умов був максимальним?

Розв’язати задачу графічним методом.

2. Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

1. Сільськогосподарське підприємство планує відкрити сушильний цех на виробничій площі 190 м², маючи для цього 100 тис. грн і можливість придбати устаткування двох типів: А і В. Техніко-економічну інформацію стосовно одиниці кожного виду устаткування подано в табл. 1:

Таблиця 1

Показник	Устаткування		Ресурс
	А	В
Вартість, тис. грн	25	10	100
Необхідна виробнича площа, м2	40	20	190
Потужність, тис. грн/рік	350	150	—

Розв’язати задачу цілочислового програмування методом гілок та меж.

2. Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

.

1. Фермеру для удобрення земельної ділянки необхідно придбати 107 кг добрив. Він може купити добрива в упаковках по 35 кг вартістю 14 ум. од. або по 24 кг вартістю 12 ум. од. Метою фермера є закупівля не менше, ніж 107 кг добрив з мінімальними витратами. Причому потрібно купувати або цілу упаковку, або не купувати її зовсім, бо частину упаковки придбати неможливо.

Розв’язати задачу цілочислового програмування методом гілок та меж.

2. До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїсту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої задачі.

min Z = x₁ + 2x₂ + 2x₃;

1. На основі умовно-оптимального плану цілочисельної задачі побудувати допоміжне обмеження Гоморі, приєднати його до умовно-оптимального плану, показаного у наведений нижче таблиці, і знайти цілі значення змінних задачі лінійного програмування

І	Базис	Сб	А0	1	-1	3	4	2
				А1	А2	А3	А4	А5
1	Х1	1	14/3	1	-2/3	0	5/3	1/3
2	Х3	3	11/3	0	1/3	1	7/3	1
			47/3	0	4/3	0	14/3	11/3