Парабола
Определение. Параболой называется ГМТ плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.
Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось Oy проведем перпендикулярно оси
Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно p. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение (*)
Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение
Пусть - текущая точка параболы. Тогда по формуле для плоского случая находим
Расстоянием от точки до директрисы служит длина перпендикуляра , опущенного на директрису из точки . Из рисунка очевидно, что . Тогда по определению параболы , то есть
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
откуда
После приведения подобных членов получим уравнение (*).
Уравнение (*) называется каноническим уравнением параболы.
Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью .
Доказательство. Проводится так же, как и предыдущее доказательство
Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.
Если переобозначить переменные , , то уравнение (*) можно записать в виде
который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований
Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки , лежащей на ней выполняется равенство . и , тогда равенство приобретает вид:
.
После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение .
Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы фокус находится в точке (0,25; 0).
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Вид кривой |
Каноническое уравнение |
Инварианты |
Невырожденные кривые ( ) |
||
Эллипс |
|
|
Гипербола |
|
|
Парабола |
|
|
Вырожденные кривые (Δ = 0) |
||
Точка |
|
|
Две пересекающиеся прямые |
|
|
Две параллельные прямые |
|
|
Одна прямая |
x2 = 0 |
|
Конические сечения
Функции двух переменных
Преобразование координат
Параллельный перенос:
Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены
<=Параллельный перенос системы координат
В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".
Пусть начало "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты , и пусть - некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки в "старой" системе координат , а в "новой" - . Из рисунка ясно, что , .
Откуда , . Так как точка взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:
|
(1) |
Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.
Пусть некоторая кривая задана уравнением . Тогда в системе координат , полученной параллельным переносом, с началом в точке уравнение кривой будет иметь вид .
Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного по-другому.
Пусть некоторая кривая задана уравнением . Тогда в системе координат , полученной параллельным переносом, с началом в точке уравнение кривой будет иметь вид .
Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (1) связи между старыми и новыми координатами.