Экстремум функций многих переменных.
М0(x0;y0) – точка локального максимума функции z= f(x,y), если для любой M(x,y) из окрестности М0(x0;y0) справедливо неравенство f(M0) > f(M).
Для нахождения экстремумов функции необходимо:
1. Нахождения частных производных первого порядка, и приравнивание частной производной к нулю для нахождения стационарных точек.
|
2. Нахождение частных производных второго порядка.
|
∆= AC - B2
Рассмотрим возможные случаи ∆:
∆ > 0 экстремум существует.
A < 0 – max
A > 0 – min
∆ < 0 экстремум не существует.
∆ = 0
Производные высших порядков.
Под действием линейного оператора , пространство V переходит в .
Для множества линейных операторов.
Величина более высокого порядка малости.
Т.е.
Смешанное дифференцирование не зависит от порядка дифференцирования.
П усть есть некая
Рассмотрим разность разностей.
Т.к. - одинаковое в обоих случаях, то мы получаем равенство
Тем самым мы доказали что можно дифференцировать по любой из переменных в смешенном дифференциале.
Ряд и формула Тейлора.
Ряд Тейлора.
Для множества переменных:
Формула Тейлора.
Если во всех точках отрезка соблюдается,
Тогда получаем
Теорема о конечном приращении.
Пусть существует пространство
Доказательство.
Пусть
Т огда
Расстояние между и - стремится к нулю
18.Приближенный метод определения экстремума.
Метод наименьших квадратов
если выбираем параметр а, так что бы сумма была минимумом.
Пример:
Градиентный спуск:
Ч ем ближе к экстремуму - тем меньше «шаги» (т.е. градиент)
Но тут надо найти берем из:
Эта задача проще Метода наименьших квадратов, тут одна переменная , а не ряд..но считать надо на каждом шаге
Берем другой вектор
Метод тяжелого шарика (Шар катится по оврагу, рано или поздно
остановившись в центре оврага)
Чем ближе к единице - тем больше инерция у шарика
Метод сопряженных градиентов для квадратичной формы
-переменная:
( Не квадратичную форму раскладываем в ряд Тейлора)
Экстремум тут находится:
И находим экстремум на каждом шаге.
Метод Ньютона
-мало
Но для -надо находить обратную матрицу, решая систему л.у.
Тут сходимость, как в : 2,4,,16,256,,,,
Демпфированный метод Ньютона
Берем:
КвазиНьютоновский
Оцениваем :
Используя направления, накапливаем , чтобы была ближе к
Градиент. Производная по направлению. Необходимые условия экстремума.
- если оператор ограничен.
- градиент
для получения - нужно и (!)
Если функция дифференцируема, то существует частная производная.
- локальные
Соответствующая производная должна быть равна 0
равно нулю при любом
- необходимое условие для локального экстремума.
Достаточное условие экстремума.
>0
В достаточно малой окружности (области).
Условный экстремум.
- дифференцируемые функции.
меняет знак
- если будет >0 или <0, то мы не получим 0.
и Тогда мы имеем
=
15.Т.Вейерштрасса для функции многих переменных
( -компакт т.е. замкнутая и ограниченная область)
достигает на этом компакте своего наибольшего и наименьшего значения
: =inf ; =sup
: ⇒ A=inf , B=sup
=sup
: :
10.Условие Коши-Римана
Раскладываем и сравниваем:
=
-----Условие Коши-Римана
9 .Достаточные условия дифференцируемости
Функция меняет значение от 1,0…
Вдоль любого направления есть производная, равная «0»(т.к. функция равна нулю)=> имеет производные во всех направлениях, и частную в нуле.
Но она не будет дифференцируема, т.к. она не будет непрерывная, потому что в любой окрестности «0» она равна то «0», то «1» (в нуле не имеет предела)
Доказываем для f(x,y,z)
(предполагаем непрерывность Частных Производных в окрестности точки)
Все это в силу непрерывности Частных Производных( и => так же для сколь угодно много слагаемых)
1.Метрические пространства. Примеры.
Определение M – множество
- операция 2-ух переменных
10 обращается в ноль при совпадении двух элементов
20 симметричность операции
30 неравенство треугольника
def метрика (расстояние)
Примеры:
10
20
30
Эвклидова метрика (норма совпадает с разностью вектора)
40
f-не прерывно на отрезке [a,b]
пространство функции не прерывно на отрезке [a,b]
2.Сходимость метрического пространства.
Свойства метрического пространства
Определение:
10 М- множество
- метрика на М
(М, )def метрическое пространство (МП)
20
Пространство сходится по метрике этого пространства, если расстояние между ними стремится к нулю.
(по метрике)
30 Последовательность называется фундаментальной в данной метрике.
def фундаментальная последовательность
Замечание:
10 Любая сходящаяся последовательность будет являться фундаментальной
- сходится в М - фундаментальная
Доказательство:
Пусть
Последовательность фундаментальна
20 Обратно не верно.
Если последовательность фундаментальна, она не обязательно будет сходиться.
-фундаментальна
Но не является сходящейся в М
Рассмотрим метрическое пространство.
Любая фундаментальная последовательность будет сходящейся.
Такое пространство называется полным.
- МП
Пусть
- фундаментальна
def ПМП
Примеры:
10 - ПМП
20 пространство непрерывной функции
Sup разности – метрика
- ПМП
Определение: есть МП
- МП
Есть отображение МП в себя (оператор)
(оператор)
10 F – непрерывно в
4.Принцип сжимающихся отображений.
20 сжимающее отображение
Сжимающий оператор, если существует const такая, что для любых двух элементов выполняется следующее:
Замечание.
Любое сжимающее отображение непрерывно в любой точки
Сжимающее отображение непрерывно
Пусть
Определение
- МП
неподвижная точка
Теорема.
Принцип сжимающих отображений
- ПМП
сжимающий оператор
Тогда: - неподвижная точка F (единственная точка)
Доказательство
Пусть неподвижная точка, 2-е , они совпадают
Единственность: пусть
Отображение сжимающее, поэтому
Существование
Пусть
Построим последовательность, которая сходится в неподвижной точки.
Построим
Каждая последующая является образам предыдущей
2 соседних индекса
Докажем, что последовательность фундаментальна
Отображение сжимающее.
Возьмем 2 различных индекса.
между ними много индексов
-геометрическая прогрессия
-геометрическая прогрессия
- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Расстояние между соседними стремится к 0
-фундаментальная последовательность
-ПМП
(неподвижная точка)
Докажем: - неподвижная точка F
Применим неравенство треугольника
- образ предыдущего
Используем сжимающее отображение
Последовательность сходится к , поэтому можно ее сделать бесконечно малым.
Из этого следует, что расстояние 0
Из этого следует, что совпадают
3. Полнота, неполнота, пополнение (пространств)
Билет № 2 пункт 30
Теорема.
(Полнота пространства непрерывных функций)
Полнота
- ПМП
Доказательство: фундаментальные последовательности сходятся
Пускай последовательность фундаментальна
Определить фундаментальность последовательности
Для каждого x числа последовательность фундаментальна
- фундаментальная последовательность
По критерию Коши это сходящаяся последовательность
- сходится ( )
Применили к пределу при m , так как x фиксирован
Получили подточенную последовательность
(!) докажем непрерывность
(!)
Была предельная сходимость, значит равномерно сходится к
значит пространство полное
- расстояние между 2 точками
определение предела последовательности
Для эти метрики эквивалентны
Окрестность нуля
вектор сходится к 0
Если - окрестности принадлежит , то она принадлежит и
Если попало во внутренний кружок, тогда попало и в ромб и выполняется:
Если сходимость в одной метрики, то сходимость в другой.
В - окрестность одну вкладывается - окрестность другая.
Доказательство:
Раз для всех i выполняется, значит и для max выполняется.
Наоборот:
- полное пространство, любая фундаментальная последовательность сходится.
Фундаментальность: последовательность Коши
-член последовательности
- координаты
Последовательность для всех i является фундаментальной.
Если сходимость векторов, номер должен быть общим.
Меняется по всему промежутку.
Относительно метрике пространство
не является полным относительно ,
последовательность является фундаментальной и не сходится.
1
1
1/n
1/m
t
fn(t)
эта последовательность фундаментальна
0 <t<1
f(t0)
Фиксируем t0
Для всех t окрестности
- метрика 1
Последовательность функции будет не сходиться к функции не прерывной.
Не будет не прерывной, следовательно, пространство не является полным.
1
-1
1
-1
1/n
-1/n
Д ля любого отрезка
1
-1
Функции не прерывны. Последовательности фундаментальны. Не является полным относительно метрике .