Теорема об изменении количества движения механической системы.

Количество движения механической системы - вектор, равный геометрической сумме всех количеств движения материальных точек этой системы, численно равный произведению массы системы на скорость центра масс и совпадающий с ней по направлению.

Векторная производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на механическую систему.

. Так как: , то: ; интегрируя получим: ; .

Теорема: Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за этот промежуток времени.

Следствия:

1. внутренние силы не влияют на изменение количества движения;

2. Закон сохранения количества движения механической системы: если главные векторы всех внешних сил, действующих на точки системы, равны нулю, то вектор количества движения механической системы остается постоянным.

3. Закон сохранения проекции вектора количества движения механической системы: если проекции векторов всех внешних сил, действующих на точки системы, на ось равны нулю, то проекция вектора количества движения механической системы на эту ось остается постоянной.

Теорема о движении центра масс механической системы.

. Уравнение движения механической системы: ; ; .

Теорема: Центр масс механической системы движется как материальная точка, обладающая массой механической системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на данную механическую систему.

Следствия:

1. внутренние силы не влияют на движение механической системы.

2. если главный вектор всех внешних сил равен нулю, то центр масс находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

3. если проекция главного вектора всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс неподвижна или движется равномерно и прямолинейно.

Дифференциальные уравнения движения механической системы.

Основное уравнение динамики для каждой точки механической системы: . Проектируя на оси координат: .

Принцип Д’Аламбера для несвободной механической системы.

В движущейся несвободной механической системе для каждой материальной точки в любой момент времени геометрическая сумма приложенных к ней задаваемых сил, реакций связи и сил инерции равна нулю. Умножив обе части выражения на r_i получим: ; .

сумма моментов задаваемых сил, реакций связи и сил инерции относительно осей координат равна нулю.

Главный вектор момент сил инерции.

Главный вектор момент сил инерции точек системы относительно неподвижного полюса равен взятой с отрицательным знаком векторной производной по времени от кинетического момента данной системы относительно того же полюса: .

Общее уравнение динамики. Принцип Д’Аламбера-Лагранжа.

Принцип Д’Аламбера: (P_i + R_i + Ф_i) = 0; (P_i + R_i + Ф_i)r_i = 0, полагаем. что связи, наложенные на механическую систему двисторонние, стационарные, голономные и идеальные, тогда: (R_i  r_i) = 0;

(P_i + Ф_i)r_i = 0 - общее уравнение динамики - для движения механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями сумма работ задаваемых сил и сил инерции точек системы на любом возможном перемещении равна нулю.

Уравнение Лагранжа второго рода.

Пускай q - обобщенная координата, зависящая от времени. Производная по времени от обобщенной координаты - обобщенная скорость, тогда: . Кинетическая энергия механической системы: . Частная производная кинетической энергии по обобщенной координате: , частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости: . Продифференцируем последнее выражение по времени: ; учитывая, что: и получим: или .

Обобщенные скорости и обобщенные силы,обобщенные координаты

Обобщенная сила - Q_i - соответствующая обобщенной координате q_i - скалярная величина, равная отношению элементарной работы сил, действующих на систему на перемещении, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты к величине этого приращения: .

Обобщенная координата q_i - независимая величина, заданием которой однозначно определяется положение всех точек механической системы.

Принцип возможных перемещений для механической системы.

; , пусть связи, наложенные на точки механической системы двусторонние, стационарные, голономные и идеальные, тогда: .

Принцип возможных перемещений - принцип Лагранжа - для равновесия механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями необходимо и достаточно, чтоб алгебраическая сумма работ задаваемых сил на возможном перемещении равнялась нулю

Возможные (виртуальные) перемещения механической системы. Идеальные связи.

Возможные (виртуальные) перемещение точки - мысленное бесконечно малое перемещение точки, допускаемое наложенными на нее связями (линейное расстояние или угол поворота).

Вектор r возможного перемещения направлен по касательной к траектории перемещения точки и составляет главную линейную часть вектора действительного перемещения dr.

Cвязи, сумма работ реакций которых на возможном перемещении равна нулю, называются идеальными: .

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. , так как работа внутренних сил равна нулю, то: .

Теорема: изменение кинетической энергии механической системы на конечном перемещении равно сумме работ внешних сил на том же перемещении.

Кинетическая энергия механической системы при различных видах движения.

Кинетическая энергия механической системы - скаляр, равный сумме кинетических энергий всех точек системы: .

При поступательном движении:

При вращательном движении:

При плоскопараллельном движении: , где d - расстояние от центра масс до МЦС.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Кинетическая энергия материальной точки - скаляр, равный половине произведение массы точки на квадрат ее скорости.

Основное уравнение динамики: , домножим на элементарное перемещение: ; ; . Интегрируя полученное выражение:

Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

Теорема: векторная производная по времени от кинетического момента механической системы относительно полюса геометрически равна главному моменту все внешних сил, действующих на механическую систему.

Следствия:

1. внутренние силы не влияют на изменение кинетического момента;

2. если главный момент все внешних сил относительно полюса равен нулю, то кинетический момент относительно этого полюса постоянный;

3. если главный момент все внешних сил относительно оси равен нулю, то кинетический момент относительно этой оси постоянный;