5) Если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то .
Если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то .
Следствия 1- 4 очевидно следуют из определения векторного произведения и его свойств. Докажем свойство 5. Доказательство совершенно аналогично доказательству формулы вычисления скалярного произведения в координатах.
Если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то , . Вычислим :
а поскольку (см. важный пример):
то
имеем:
Для вычисления векторного произведения в координатах используют мнемоническую запись:
Билет 5
Смешанное произведение геометрических векторов. Компланарность.
Определение.
Смешанное произведение векторов
,
и
(обозначаем его
)
определяется равенством
,
т.е. равно скалярному произведению
векторов
и
.
Свойства смешанного произведения. Понятно, что свойства смешанного произведения — это свойства скалярного произведения двух векторов, а поскольку первый из сомножителей, , векторное произведение, то получим суперпозицию свойств векторного и скалярного произведений.
Например:
.
Рассмотрим только некоторые, наиболее интересные с нашей точки зрения свойства.
Признак компланарности векторов. Векторы, лежащие в одной плоскости (параллельные одной плоскости) называются компланарными векторами.
тогда и только
тогда, когда векторы
,
и
компланарны.
Действительно,
если
,
то векторы
и
— ортогональны. Но вектор
ортогонален векторам
и
.
Это означает, что у векторов
,
и
есть общий перпендикуляр, а это означает,
что векторы
,
и
лежат в одной плоскости (параллельны
одной плоскости) — компланарны. Наоборот:
если векторы
,
и
лежат в одной плоскости, то векторное
произведение
ортогонально этой плоскости, т.е.
ортогонально всем векторам плоскости,
т.е. ортогонально вектору
,
т.е.
,
или, что то же самое,
.
Что и требовалось доказать.
Билет 6
Смешанное произведение геометрических векторов
Вычисление смешанного произведения в координатах
Определение. Смешанное произведение векторов , и (обозначаем его ) определяется равенством , т.е. равно скалярному произведению векторов и .
Свойства смешанного произведения. Понятно, что свойства смешанного произведения — это свойства скалярного произведения двух векторов, а поскольку первый из сомножителей, , векторное произведение, то получим суперпозицию свойств векторного и скалярного произведений.
Например: .
Рассмотрим только некоторые, наиболее интересные с нашей точки зрения свойства.
Признак компланарности векторов. Векторы, лежащие в одной плоскости (параллельные одной плоскости) называются компланарными векторами.
тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.
Вычислим смешанное произведение в координатах. Вспомните формулы для вычисления определителя 3-го порядка, формулы вычисления скалярного и векторного произведения в координатах.
Если векторы
,
и
заданы своими координатами в некоторой
декартовой системе координат:
,
,
,
то
,
а
Смешанное
произведение векторов можно использовать
для вычисления объемов параллелепипедов:
,
V — объем параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
как на ребрах .
Если смешанное произведение положительно — векторы , и образуют правую тройку; иначе — левую.
Равенство нулю смешанного произведения векторов — признак компланарности векторов: тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.
Билет 7
Умножение матриц
Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом.
Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если
то произведением матриц A и B называется матрица
,
элементы которой вычисляются по
формуле
,
;
произведение матриц A
и B обозначается
AB: C=AB.
Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:
A·B ≠ B·A,
(A + B) · C = A·C + B·C,
C·(A + B) = C·A + C·B,
α(A·B) = (αA) ·B,
(A·B) ·C = A·(B·C),
(AB)T = B TA T,
,
A,
B
— квадратные матрицы одинаковой
размерности.AE=EA=A, A— квадратная матрица, E — единичная матрица соответствующей размерности.
Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.
Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы
Билет 8
Обратная матрица, Теорема о существовании обратной матрицы.
Определение. Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1.
Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A-1= A-1·A=E.
Пример.
Теорема о
существовании обратной матрицы. Если
,
то матрицаA
обратима и
.
Здесь
— алгебраическое дополнение элемента
матрицы A.
Доказательство
теоремы. Докажем,
что для матрицы
(транспонировали
матрицу из алгебраических дополнений)
справедливо:
.
Вычислим
.
Если
,
то
— сумма
произведений элементов i-й
строки матрицы A
на их алгебраические дополнения. Если
же Если
,
то
— сумма
произведений элементов i-й
строки матрицы A
на алгебраические дополнения другой (
j-й
строки,
). Отсюда следует, что диагональные (
)
элементы матрицы
равны единице,
а внедиагональные (
)
— равны нулю, т.е.
.
Равенство
доказывается
совершенно аналогично. Докажите
самостоятельно.
Билет 9
Обратная матрица ,Теорема о единственности обратной матрицы.
Определение. Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1.
Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A-1= A-1·A=E.
Пример.
Обратная матрица единственна.
Доказательство.
Докажем «от
противного». Пусть это не так, и пусть
и
,
.
Из определения обратной матрицы следует:
,
.
Тогда
из ассоциативности умножения матриц и
свойств единичной матрицы следует:
Выполним некоторые вычисления:
,
т.е.
.
Противоречие с предположением
доказывает утверждение теоремы.
Аналогичными вычислениями можно доказать следующие свойства обратной матрицы:
.
.
Действительно:
,
и
совершенно
аналогично,
,
т.е.
.
Билет 10
Обратная матрица. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Определение. Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1.
Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A-1= A-1·A=E.
Пример.
Для того, чтобы матрица A была обратима, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство
теоремы. Необходимость. Дано:
матрица A
обратима.
Докажем, что
.
Действительно,
поскольку A
— обратима,
то существует матрица
и
,
тогда
,
и, следовательно,
.
Отсюда, в частности, следует, что
.
Достаточность. Дано: . Но тогда обратимость матрицы A следует из теоремы о существовании обратной матрицы. Теорема доказана.
Билет 11
Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Обозначим:
,
,
,
A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.
Тогда:
тогда и только
тогда, когда для элементов матрицы X
справедливы равенства рассмотренной
системы. Т.е. система эквивалентна
матричному уравнению A·X
= B, в том смысле, что
если числа
являются решением рассмотренной системы,
то соответствующая матрица X
является решением матричного уравнения;
и наоборот, если матрица X
является решением матричного уравнения,
то ее элементы
являются решением рассмотренной системы.
Формулы Крамера. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
Обозначим:
— определитель матрицы системы, и
— определитель матрицы, полученной из
матрицы системы заменой j-го
столбца столбцом правых частей.
Если определитель
матрицы системы отличен от нуля,
,
то решение системы
определяется
равенствами:
.
Билет 12
Линейная зависимость и линейная независимость в Rn
Определение.
Линейной
комбинацией векторов
называется выражение
,
где коэффициенты линейной комбинации
— некоторые числа.
Определение.
Говорят,
что вектор
пространства Rn
линейно
выражается через векторы
,
если его можно представить в виде
линейной комбинации этих элементов
,
т.е. представить в виде
.
Определение.
Система
векторов из Rn
называется линейно
независимой
если из
следует равенство нулю всех коэффициентов
,
.
Иными
словами, линейная комбинация векторов
равна нулю тогда и только тогда, когда
все
коэффициенты линейной комбинации равны
нулю.
Определение. Система векторов, которая не является линейно независимой, называется линейно зависимой.
Иными
словами, существуют такие коэффициенты
линейной комбинации
,
не все равные нулю
,
что
.
Или: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.
Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов — линейно зависима.
Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.
Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.
Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система — линейно зависима.
Докажем
первое из этих утверждений: любая система
векторов, содержащая нулевой вектор
линейно зависима. Рассмотрим произвольную
систему векторов
и добавим к
ней нулевой вектор:
.
Тогда :
,
т.е. равна нулю линейная комбинация с
одним ненулевым коэффициентом — векторы
линейно зависимы, ч.т.д.
Билет 13
Линейная зависимость и линейная независимость в Rn
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов в Rn
Определение. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где коэффициенты линейной комбинации — некоторые числа.
Определение. Говорят, что вектор пространства Rn линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .
Определение. Система векторов из Rn называется линейно независимой если из следует равенство нулю всех коэффициентов , .
Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Определение. Система векторов, которая не является линейно независимой, называется линейно зависимой.
Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю , что .
Или: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов). Система векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов из Rn линейно выражается через остальные векторы системы.
Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: векторы линейно зависимы. Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .
Векторы линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю, что .
Не
умаляя общности, предположим, что именно
.
Тогда из
следует:
— вектор
линейно
выражается
через
.
Необходимость доказана.
Достаточность. Дано: один из векторов системы линейно выражается через остальные. Докажем, что векторы линейно зависимы.
Действительно,
не умаляя общности, положим, что вектор
линейно
выражается
через
:
.
Если все
,
то
и векторы
линейно
зависимы (см. св-во 1). Если же среди
есть хоть одно отличное от нуля число,
то
— имеем
нулевую линейную комбинацию, не все
коэффициенты которой равны нулю —
система векторов
линейно
зависима. Достаточность доказана.
Теорема доказана.
Билет 14
Ранг матрицы
Определение. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы. Обозначаем RgA, rgA.
Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимых строк, а любые r +1 строки — линейно зависимы.
Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.
Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.
Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу
т.е.
,
для
всех
,
и
для
всех при
.
Важно понимать, то у ступенчатой матрицы
первые r
диагональных
элементов
отличны от
нуля:
.
Первые
r строк этой матрицы
линейно независимы. Действительно,
приравняем к нулю линейную комбинацию
этих строк:
и вычислим ее в естественном базисе:
,
,
…,
Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:
,
поскольку
,
,
поскольку
и
,
…,
,
поскольку
,
,
…,
и
.
Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейно зависимы, т.к. линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.
Теорема доказана.
Билет 15
Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис в подпространстве
Определение.
Множество
L
векторов из Rn
, такое, что для любых
и
из
L
и любого числа α справедливо
,
называется линейным
подпространством в Rn.
Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rn:
Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:
если вектор принадлежит линейному подпространству L, то и вектор
принадлежит
линейному подпространству L;любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.
Действительно,
пусть
но
тогда и
,
и, следовательно,
.
Утверждение. Пространство Rn само является линейным подпространством в Rn.
Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rn и произведение любого вектора из Rn на любое число принадлежат Rn.
Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы. Обозначаем dimL=k.
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема. В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.
Доказательство
теоремы. Действительно, если dimL=k,
то существует система из k
линейно независимых векторов
,
а любая система из k+1
вектора
— линейно
зависима, но тогда любой вектор
линейно выражается через векторы :
,
т.е.
— базис в
L.
Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).
Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейного подпространства является базисом в этом подпространстве.
Теорема. Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этого подпространства.
Отсюда следует: dim(Rn) = n.
Действительно, в пространстве Rn есть базис из n векторов — естественный базис в Rn.
Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции в координатной форме
Определение. Система векторов из Rn образует базис в Rn если:
система векторов упорядочена;
система векторов линейно независима;
любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.
Иными словами,
линейно независимая упорядоченная
система векторов
Образует
базис в Rn
если любой вектор
из Rn
может быть представлен в виде
.
Определение.
Выражение
называется разложением вектора в базисе
,
а числа
называются координатами вектора
в базисе
.
Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов
линейно
независима (см. пример с
)
и что для любого
из Rn
система
векторов
линейно зависима, поскольку любой вектор
линейно выражается через
:
.
Т.е. в Rn
существует
базис, состоящий из n
векторов.
Базис
называется естественным базисом в
Rn,
и компоненты вектора
—
его координаты
в естественном
базисе.
Билет 16
Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского
Теорема (неравенство Коши-Буняковского).
Определение.
Если каждой паре векторов
из
пространства Rn
поставлено в соответствие
действительное число
,
так, что для любых
из Rn
и любого действительного числа
справедливы следующие равенства:
при
,
,
—
нулевой вектор,
то говорят, что в пространстве Rn определено скалярное произведение .
Для любых векторов
из
пространства Rn
справедливо следующее
неравенство
.
Доказательство
теоремы. Возьмем произвольное число
и рассмотрим
.
По последнему свойству скалярного
произведения для любых векторов
и
любого числа
справедливо:
.
С другой стороны,
,
т.е.
.
Выражение в левой части неравенства —
квадратный трехчлен относительно
.
Он неотрицателен тогда и только тогда,
когда дискриминант
.
Из последнего неравенства немедленно
следует неравенство Коши-Буняковского:
,
.
Теорема доказана.
Билет 17
Метрические соотношения в Rn
Определение.
Число
называется длиной вектора
;
число
— расстоянием между векторами
и
;
угол
,
косинус которого
— углом между векторами
и
.
Если
в Rn
скалярное
произведение определено формулой
,
то для любых
,
из Rn
справедливо:
Билет 18
Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Обозначим: , , ,
A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.
Тогда:
тогда и только тогда, когда для элементов матрицы X справедливы равенства рассмотренной системы. Т.е. система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том смысле, что если числа являются решением рассмотренной системы, то соответствующая матрица X является решением матричного уравнения; и наоборот, если матрица X является решением матричного уравнения, то ее элементы являются решением рассмотренной системы.
Свойства решений систем линейных алгебраических уравнений
Используя свойства линейных операций с матрицами, нетрудно доказать, справедливость следующих утверждений.
Если и — два решения однородной системы
,
то при любых действительных числах α
и β вектор
— решение системы
.Если и — два решения неоднородной системы
,
то вектор
— решение приведенной однородной
системы однородной
.Если решение неоднородной системы , а — решение однородной системы , то вектор
— решение неоднородной системы
.
Билет 19
Необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений
На вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений отвечает следующая теорема.
Теорема (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
Доказательство теоремы.
Необходимость.
Система
совместна. Докажем, что
.
Система
совместна — существуют такие числа
,
что
т.е.
вектор-столбец правой части линейно
выражается через столбцы
матрицы A. Это означает,
что при добавлении столбца
число линейно независимых столбцов не
увеличивается, т.е.
.
Необходимость доказана.
Достаточность. . Докажем, что система совместна.
Пусть
.
Это означает, что среди столбцов обеих
матриц есть r линейно
независимых столбцов, а все остальные
линейно выражаются через эти r
столбцов. Не умаляя общности, положим,
что линейно независимы первые r
столбцов
.
Тогда столбцы
— линейно зависимы и, следовательно,
столбец
линейно выражается через
:
.
Положим
,
тогда
т.е.
вектор
— решение системы
,
т.е. система совместна. Теорема доказана.
Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда есть тривиальное — нулевое решение.
Билет 20
Нетривиальная совместность однородных систем. Необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы
Мы уже говорили, что однородная система линейных алгебраических уравнений всегда совместна. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.
Теорема (необходимое и достаточное условие нетривиальной совместности однородной системы). Для того чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.