Билет № 1

1°. Пример

, ( - ускорение)

(если подобрать )

,

(множество решений)

(положение груза при )

(положение груза в начале колебаний)

2°. Определения.

Опред.: Обыкновенным дифференциальным уравнением -ного порядка называется уравнение , где - независимая переменная, - искомая функция от , - заданная функция от переменных.

Опред.: Функция называется решением дифференциального уравнения на интервале , если при подстановке в это уравнение она обращает его в тождество по , на интервале .

, - дифференциальное уравнение 1-го порядка.

- решение ДУ интеграл ДУ

Опред.: Интегральная кривая ДУ - график любого решения ДУ.

Опред.: Интегрирование в квадратурах - выражение решения дифференциального уравнения с помощью элементарных функций и интегралов от них.

,

(неявная функция, решение ДУ)

Опред.: Интегральная кривая – полуокр. (верхняя или нижняя)

(общий интеграл ДУ)

3 °. Геометрический смысл ду.

(это ДУ, разрешенное относительно производной)

- определена в области .

В каждой точке области мы знаем касательную к решению.

Опред.: Совокупность линий называют полем направлений, соответствующим дифференциальному уравнению.

С геометрической точки зрения нахождение решений ДУ- есть нахождение всех кривых, касательные в каждой точке к которым совпадают с соответствующими прямыми поля направлений.

4°. Задача Коши.

Опред.: Задачей Коши для уравнения наз. задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего условию: , (н. у.).

Билет № 2

1°. Уравнение в полных дифференциалах.

Опред.: Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида , левая часть которого - полный дифференциал от некоторой функции

Теорема: Всякое решение уравнения в полных дифференциалах удовлетворяет уравнению для некоторого .

Доказательство: Пусть - решение, - решение

. Теорема доказана.

Теорема:

Пусть функции непрерывны в . Тогда для того, чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно условие .

Доказательство:

Необходимость.

Достаточность.

,

2°. Уравнения с разделяющимися переменными.

Опред.: Уравнение вида , где - непрерывна на , непрерывна на , называется уравнением с разделяющимися переменными.

6°. Интегрирующий множитель.

, ,

Если является уравнением в полных дифференциалах, то называется интегрирующим множителем.

Пример: , ,

Билет № 3

3°. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Опред.: Если функция , то уравнение называется линейным однородным.

Лемма:

Доказательство:

. .

. - два частных решения.

Метод вариации постоянных.

4°. Уравнение Бернулли.

, где

,

Если , то нужно смотреть, не потеряно ли решение .

5°. «Однородные» уравнения.

Опред.: Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если его можно привести к виду:

=> => =>

Билет № 4

1°. Метрическое пространство.

Опред.: Метрическое пространство - это множество , любой паре элементов которого поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое расстоянием между ними и удовлетворяющее следующим аксиомам:

1.

2.

3.

Пример:

Опред.: называется пределом последовательности , если при

Опред.: Последовательность называется фундаментальной, если

Опред.: Метрическое пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства.

Пример:

Теорема:

- полное метрическое пространство

Доказательство:

- фундаментальная последовательность

Фиксируем - числовая, причём справедливо неравенство - фундаментальная

,

- сходится равномерно на