- •Билет № 1
- •1°. Пример
- •2°. Определения.
- •3 °. Геометрический смысл ду.
- •4°. Задача Коши.
- •1°. Уравнение в полных дифференциалах.
- •2°. Принцип сжатых отображений.
- •3°. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
- •3°. Связь нормальных систем с общими дифференциальными уравнениями (оду) n-го порядка.
- •5°. Нормальная линейная система (нлс).
- •1°. Линейная однородная система (лос).
- •2°. Фундаментальная система решений (фср).
- •Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.
- •3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).
- •5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.
- •Свойства уравнения :
- •4°. Линейные неоднородные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •5°. Лос с постоянными коэффициентами.
- •1°. Теорема о непрерывной зависимости решений от реальных условий.
- •2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.
- •3°. Теорема Ляпунова.
- •4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.
, на .
Опред.: Решение нормальной системы называется устойчивым по Ляпунову, если той же системы, удовлетворяющее неравенству , , выполняется неравенство , .
Опред.: Решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и
, . .
Решение нормальной системы устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво нулевое решение преобразованной системы
Билет №22
3°. Теорема Ляпунова.
Теорема:
Пусть нормальная система имеет решение . Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:
1). , .
2). если - решение, то при , тогда точка покоя устойчива по Ляпунову.
Если к тому же при , , то точка покоя асимптотически устойчива.
Опред.: Функция называется функцией Ляпунова.
Следствие:
Если действительные части всех собственных чисел матрицы отрицательны, то любое решение ассимптотически устойчиво.
Доказательство:
, - собственные числа матрицы .
Если , .
.
Билет № 23
4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
, где .
1. ,
|
Устойчивый узел.
|
2. ,
|
|
3. .
|
«седло»
|
4.
Утверждение:
- действ. вектор функц. тогда и только тогда, когда .
, - линейно не зависимы.
- невырожденная матрица.
Оператор хорошо преобразует вектора.
.
семейство окружностей, преобразованных оператором |
семейство эллипсов «центр».
|
5 . ,
, . устойчивый фокус.
6. ,
, . неустойчивый фокус.
7 . О бщее решение: |
8 .
|
9 . О бщее решение:
|
1 0.
|
1 1. О бщее решение:
|
1 2.
|
1 3. О бщее решение:
|
1 4.
|
Билет № 24
§ 10. Краевая задача для ЛДУ 2-го порядка.
1°.Постановказадачи.
Опред.: Если , то краевые условия называются однородными.
Опред.: Если удовлетворяет краевым условиям, то удовлетворяет однородным краевым условиям.
Пример 1:
|
Пример 2:
|
Билет № 25
2°. Задача Штурма-Лиувилля.
- непр.дифф.
, - непрерывны на , , на , .
Требуется найти все значения (собственное значение) при которых существует собственная функция , удовлетворяющая уравнению и краевым условиям.
Свойства собственного значения и собственной функции.
1. Существует монотонной возрастающая последовательность собственных значений , причем соответствует собственная функция , обращающаяся в ноль ровно раз на .
2. Если , то все собственные значения положительны, за исключением случая , , , .
3. Собственные функции на отрезке образуют ортонормированную систему с весом , то есть
4. Всякая функция , удовлетворяющая краевым условиям и имеющая непрерывную 1-ю производную и кусочно-непрерывную 2-ю производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям :
, где .
Пример:
Характеристические корни: .
1). ,
.
2). .
3).
; , ;
( , , )
,
- орт. на .
Билет № 26
§ 1. Классификация УРЧП.
1°. Определение.
Опред.: УРЧП – это у-е , где
- независимые переменные, .
Примеры у-ий в матфизике:
,
.
2°. Линейные уравнения 2-го порядка от двух независимых переменных.
.
Существуют следующие типы таких уравнений:
Гиперболические:
Параболические:
Эллиптические:
3°. Уравнение характеристик.
,
- эти семейства кривых называются характеристическими кривыми (или характеристиками).
Если сделать замену переменных , , и подставить ее в исходное уравнение, оно существенно упростится.
.
Билет № 27
4°. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка от двух независимых переменных.
,
Гиперболический тип.
.
Можно считать, что (так как если , то в исходном уравнении меняются местами переменные и . Если же , то вообще решать нечего).
Следовательно, , .
.
Билет № 28
4°. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка от двух независимых переменных.
,
Параболический тип.
Можно считать, что , .
,
Эллиптический тип.
Можно считать, что (так как если , то , чего быть не может).
,
Следовательно, .
.
Билет №29
§ 2. Колебания бесконечной струны.
1°. Постановка задачи.
Опред.: Струна бесконечная - то есть колебания на одном конце струны очень нескоро дойдут до другого конца.
Н ачальные условия:
Нужно найти положение струны в заданный момент времени в полуплоскости.
2°. Формула Даламбера.
3°. Физический смысл.
бегущая волна
Билет № 30
§ 3. Начально-краевая задача для уравнения 2-го порядка от двух независимых переменных.
1°. Постановка задачи.
Краевые условия:
|
|
2°. Метод Фурье.
Если бы , то , ,
, .
Если функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную, то тригонометрический ряд для сходится абсолютно и равномерно к .
Докажем, что производные и существуют.
- абсолютно и равномерно сходятся, так как:
и достаточно больших .
Билет № 31
§ 4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
1°. Постановка задачи для трехмерного тела.
2°. Задача Дирихле для круга.
,
,
, ,
,
Подставляем во второе уравнение , получаем:
Получилось уравнение Эйлера.
,
,
Если , , , , , ,
проинтегрировав, получаем (в нуле не определен, поэтому по смыслу задачи мы должны взять ).
Получим: , ,
Любая функция этого набора удовлетворяет уравнению Лапласа. Рассматривая сумму этих функций, то есть ряд:
,
Должно быть справедливо для всех .
, ,
Билет № 32
3°. Интегральная функция Пуассона.
(ядро Пуассона)
{представим как сумму геометрической прогрессии}
.
.
.
4°. Формула Пуассона для шара.
.
Билет № 33
§ 5. Колебания закрепленной струны.
1°. Постановка задачи.
Уравнение колебаний струны:
Граничные условия:
|
Начальные условия:
|
2°. Метод Фурье.
Задача Лиувилля:
,
Билет № 34
§ 6. Вывод уравнений математической физики.
1°. Уравнение теплопроводности.
|
Количество тепла, проходящее через левую грань куба справа налево за интервал времени (t,∆t+t), равно , α – коэффициент теплопроводности. , Общее количество тепла, входящее в Q, за интервал времени (t,t+∆t) , ,
|
2°. Уравнения малых колебаний струны.
|
, = (x+∆x,t) |
(x+∆x,t)- (x,t))=T (x,t)∆x
𝜌∆x (x,t)=T (x,t)∆x