Билет1 (ФНП:предел и непрерывность)

U=f(x,y) ( ) δ-окр

Зафиксируем у и придадим х приащение ∆х х- U-приращение

U=f( + , )- f( )

x-фикс, у-∆у=>∆yU=f( +∆y)- f( )

если же х и у получат приращение, тогда мы получим полное приращение

U=f( + , +∆у)- f( )

Опр:Число А наз-ся пределом ф-и U(x;y) в (.) при стремлении точки х,у в (.) х0,у0 прооизвольным образом, если для всех Е>0 существует ∆>0: <∆ => f(x,y)=f( )<E

Опр:ф-я U=f(x,y) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и ее окрестности и = f( )

Опр:ф-я U непрерывна на множество Д, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Св-ва непрерывной ф-и одного переменного без изменений переносится в данном случае

Билет2(ЧП фнп 1-го и высших порядков)

Опр:производная f( ) ф-и по переменной х в точке наз-ся ЧП по х от ф-и f(x,y) в точке

=

=

Опр:ЧП от прозводных , наз-сячп второго порядка

( )= ( )=

Смешанные ЧП: Теорема: если ф-я z=f(x,y) и определены и непрерывны, то = , т.е результат дифференцирования не зависит от пордка дифференцирования

ЧП порядка n это ЧП от порядка (n-1)

Билет3 (дифференциал фнп 1-го и высших порядков)

Опр:ф-я z=f(x,y) в точке наз-ся дифференцируемой в М(х,у), если ее приращение в данной точке можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+ (∆x,∆y)∆x+ (∆x,∆y)∆y, где АиВ то числа независящие от ∆x,∆y соответственно -это БМВ

Дифференциалом ф-ии I-го порядка наз-ся гл.линейная часть е приращения. Это выражение так же наз-ся полным дифференциалом ф-ии z.

∆z=A∆x+B∆y-полный дифференциал

Т:если ф-я z=f(x,y) дифференциуема в точке (х,у), то z имеет ЧП и А= (x,y)

B= (x,y)

dz= dx+ dy

Т2:если ф-я z дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в данной точке

Опр:полным дифференциалом 2-го порядка ф-и z наз-ся дифференциал ее дифференциала 1-го порядка т.е =d(dz)

z= +2 + ∂

z= (z)

Билет4(дифференцирование сложных фнп(с док-вом), дифференциал сложной фнп)

Теорема:Если ф-ии x(t), y(t) – диф-мы в точке t, а ф-я U – диф-ма вв точке (х,у), то ф-я U=(x(t);у(t)) диф-ма в точке t и = * + * = * + *

Док-во:

Пусть z=z(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v)

= +

= +

Правило: производная от сложной ф-ии по каждой независимой переменной, есть сумма произведений. ЧП по всем ее промежуточным переменным на производные последних по независимой переменной

Теорема(инвариантность формы полного дифференциала сложной фнп)

Пусть ф-я z=z(u,v), где u=u(x,y) v=v(x,y) => dz= du+ dv

Док-во т.к z=z(u(x,y);v(x,y))=z(x,y) тогда dz= dz= dx+ dy

= +

= +

dz= + )dx+( = + )dy= + dy)+ ( dx+ dy)=

Билет5 (производная неявной фнп)

Теорема если ур-ие F( обращается в тождество в точке ( и если в некоторой окрестности этой точки ф-я F непрерывна и имеет непрерывные ЧП при этом то данное ур-ие имеет в окрестности этой точки единственное решение u=f( . При этом ф-я F( непрерывна и имеет непрерывные ЧП

Док-во: пусть условие этой теоремы выполнены =) подставляя вместо переменной U ф-ию f получаем тождество F( =)полный дифференциал ф-ии F будет равен 0. dF( т.е dx+ d +…+ du=0 =) dU=( /(- )dx+( )d +…+( )d

dz= d + d d

=- … =

1)F(x,y)=0; т.е y=y(x) =-

2)F(x,y.z)=0 т.е z=z(x,y,z) =- =-

Билет6(экстремум фнп. Наибольшие и наименьшие значения фнп по замкнутой области)

Опр: Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство , то точка М₀ называется точкой максимума.

  Опр: Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство , то точка М₀ называется точкой минимума

Т: Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Можно предложить следующий план нахождения M и m. 1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутри D. 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Билет7(двойные интегралы:опр, их св-ва и вычисления)

Определение двойного интеграла

   Пусть в некоторой области D на координатной плоскости XOY определена функция двух переменных z = f (x, y). Предполагается, что граница области D состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y = f (x) или x = φ (y), где f (x) и φ (y) – непрерывные функции.

1. Разобьем область D на бесконечно малые ячейки прямыми, параллельными координатным осям.

2. В каждой ячейке выберем точку C_i,j(x_i, y_j).

3. Вычислим значения f (x_i, y_j) функции в этой точке.

4. Эти значения f (x_i, y_j)  умножим на площади ячеек, из которых бралась точка: f (x_i, y_j)·Δ x_i·Δ y_j.

5. Все эти произведения сложим:

.

Полученная сумма называется двойной интегральной суммой.

   Назовем диаметром d(D) области D наибольшее расстояние между точками этой области. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей D_i

.

   О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом называется предел двойной интегральной суммы при условии стремления к нулю диаметров всех ячеек, если он существует и не зависит от способа разбиения области D, от способа выбора точек C_i,j (x_i, y_j) внутри каждой ячейки

.

В этом случае функция f (x, y) называется подынтегральной, D — областью интегрирования, x и y — переменными интегрирования, ds (или dx·dy) – элементом площади.    Мы предполагаем, что функция f (x, y) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т.е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате

{ (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}

следующим образом:

   Т 1. Функция f (x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, интегрируема в этой области.    Т2. Функция f (x, y),ограниченная в замкнутой ограниченной области D и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y = ψ(x) или x = φ (y), интегрируема в этой области.

Вычисление площади плоской фигуры двойным интегралом

   Если положить f (x, y) = 1 всюду в области D, то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области D в виде двойного интеграла:

Свойства двойных интегралов

1. Линейное свойство

.

2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

3. Аддитивное свойство по области интегрирования

.

4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка ( ξ; μ), что

,

где s — площадь фигуры D.

Билет8(тройные интегралы:опр, их св-ва и вычисления)

Билет9(замена переменных в кратных интегралах)

Замена переменных в кратных интегралах.

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например:

Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.

В двойных интегралах.

Ф-ии х; у однозначные и непрерывные на S.

Пусть x=x(u;v) y=y(u;v)

При замене «х» и «у» на «u» и «v» область S переходит в S’, тогда

Где

Для двойных интегралов часто используется переход от декартовых к полярным координатам

тогда

Переход от декартовых координат к полярным целесообразен, если область интегрирования-часть круга.

В тройных интегралах

Пусть x=x(u;v;w) y=y(u;v;w) z=z(u;v;w) -однозначны и непрерывны, вместе с ЧП на области S

Наиболее распр. заменами в тройном интеграле являются:

1. Переход к цилиндрическим координатам:

Переход к цилиндрическим координатам целесообразен, если область интегрирования-часть циллинра, или сечения плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей есть часть круга, или круг

2. Переход к сферическим координатам

Переход к сферическим координатам целесообразен, если область интегрирования-часть шара

Билет10(криволинейные интегралы 1 род

Билет11(криволинейные интегралы 2 рода)

Билет12(криволинейные интегралы по замкнутому контуру)

+ 12)Криволинейные интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина

Т еорема:Если область D, ограниченную замкнутой линией L, разбить на две части D₁ и D₂, то криволинейный интеграл по всей линии L равен сумме интегралов,взятых в том же направлении по линиям L₁ и L₂, ограничиввающим области D₁ и D_2.

Формула Грина:-формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру с двойным и нтегралом,распространеным по области,ограниченной этим контуром. Теорема: Е сли функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области D, то имеет место формула: , где L- граница области D и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении. Доказательство:Сначала возьмем в плоскости Оху область D, ограниченную линией L, пересекающейся с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Преобразуем двойной интеграл: / интегрируем сначала по х,потом по у: .выполнив внутреннее интегрирование, получим: . Во втором интеграле мы изменили пределы интегрирования соответственно поэтому изменился и знак. первый интеграл есть есть нечто иное,как криволинейный интеграл а второй- . Сумма эт их интегралов будет криволинейным интегралов будет криволинейным интегралом по всему контуру L, обходимому в отрицательном направлении. следовательно, . Совершенно аналогично , где х₁ (у)и х₂(у)- уравнение линий ЕАС и ЕСВ в форме, разрешенной относительно х. рассуждая так же, как и в первом случае, получим / сумму интегралов, стоящих в правой части последнего равенства, заменим одним интегралом по всему контуру L, обходимому уже в положительном направлении: . Вычитывая из этого равенства, получчаеи: . чтд

Билет13(независимость криволинейного интеграла от линии интегрирования)

Билет14(числовые ряды:св-ва сходящихся рядов)

14) Числовые ряды: свойства сходящихся рядов (с док-вом)

Пусть    - последовательность чисел.

Определение. Если существует  , то говорят, что сходится бесконечный ряд 

Если же предела не существует или же бесконечен ,то говорят, что ряд расходиться.

Свойства сходящихся рядов:

! ряд 1 сходиться, т.е

1. Если ряд 1 сходиться и с-произв. const, то - сходиться

2. Пусть , тогда + ) сходиться и его сумма = +

=( + )+…+( + )= ( +… + ) +…+ ( + )

Определение: если в ряде 1 n-первых членов, то ряд - +.. =

3. Если ряд 1 сходиться, то =0

= = + -> =S- -> =

На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Следствие. (Необходимый признак сходимости ряда).

. Действительно, при   получаем неравенство  , выполняющееся  . Это значит, что  . Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд  расходится при  .

Билет15(числовые ряды с «+» членам:признаки сходимости)

Билет16(числовые ряды с «+» членами:необходимый признак. Гармонический ряд)

Билет17(числовые ряды с «+» членами:признаки сранения)

билет18(числовые ряды с «+» членами:признак Даламбер)

Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.

Пусть задан ряд ∑ Un 0 (2)

(1)Необходимый признак.

Теорема1: if ряд(2)-сходится, то .

Доказательство: т.к. ряд сход-ся, то

Sn=U1+…+Un; Sn-Sn-1=(Un+…+Un)-(Un+…Un-1)=Un.

Однако этот признак не является необходимым.

Рассмотрим ряд: -гармонический

Покажем, что этот ряд расходится.

Для док-ва заменим некот. Числами и покажем, что даже сумма меньше слагаемых

)+..

Раскрыв скобки, заменим слагаемые последним.

(2)Признаки сравнения. Формула Лемма.

Если всем част. Un суммы Sn огранич. одним и тем же числом m.

Доказ-во: if Sn‹M, то (2) сх-ся и

Теорема 2: ! числами и Un≤Bn

1)if -сходится, то -сходится

2)if -расходится, то -расход.

Док-во:

Пусть ряд Bn расходится

Т.к. Sn(b) , то Sn(b) S(b)

Покажем, что Sn(u) имеет предел:

Sn(u)=u1+u2+..+un b1+b2+..+bn=Sn(b) S(b) Sn(u) и Sn(u) S(b) +

!

Т.к. Sn(u) Sn(b) Sn(b)

расход-ся. Ч.Т.Д.

Теорема 3: Предельный признак сравнения.

!

If -т =A ,то эти 2 ряда сходятся одновременно,т.е.1 из них сход.то и другой тоже.

Доказ-во: по определению пределов

: │ -A│

Un (A+ )Bn/

можно выбрать наст. Маленьким, чтобы(A- ) .

-сходится. Т.к. Un (A+ )Bn, то Th2 сходится

расходится, то т.к. (A- )Bn Un, то Th2 -расход. Т.е. эти ряды сходятся одновременно. Ч.Т.Д.

- сход-ся │q│ , расх. │q│

3)Пр-и Даламбера

Th4: ! (2) если -т

q сходится

q 1, расходится

q=1, ??

Доказ-во:1) q По опред. Предела т.к. =q , при этом можем подобрать так, что

Т.к. конечное число не влияет на него можем считать, что это неравенство выполнено, начин с n=1, тогда

= q,

,т.к. │ │ 1, то -сход. Th2 -сход. Доказ-во: 2) ! q , тогда начин с некот-го номера n: ч.т.д.

Билет24(разложение функций в степенные ряды:ряд Тейлора и маклорена)

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:

При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:

1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Маклорена (=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

Ряды Маклорена являются частным случаем рядов Тейлора.

Условия применния рядов Маклорена (=Макларена).

1) Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Маклорена (=Макларена) на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена (=Макларена) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2) Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке а=0, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Маклорена (=Макларена).

Численное интегрирование с использованием рядов Маклорена (=Макларена).

Значения многих интегралов нельзя найти с помощью каких-либо аналитических методов. Мы уже рассказывали о вычислении таких интегралов с помощью формулы трапеций, формулы Симпсона. Другой метод нахождения числового значения определенного интеграла - выражение функции в виде ряда Маклорена (=Макларена) с последующим поочередным интегрированием каждого члена.