2.4. Нелінійні операції над векторами.

Скалярний добуток.

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними. Скалярний добуток векторів і позначається символом . Якщо позначити кут між вектором і через φ, для скалярного добутку будемо мати вираз

Властивості скалярного добутку:

1. = - комутативна (переставна) властивість;

2. - асоціативна (сполучна) властивість відносно множення на число;

3. - дистрибутивна (розподільна) властивість.

З визначення скалярного добутку випливає, що косинус кута між двома ненульовими векторами і дорівнює . Звідси робимо висновок, що два вектора і перпендикулярні (φ = ) тоді і тільки тоді, коли = 0.

Якщо вектори і задані своїми координатами (а_х, а_у, а_z) i (b_x, b_y, b_z) відповідно, то ці вектори мають вигляд

, .

Їхній скалярний добуток обчислюється за формулою

а косинус кута φ між цими векторами дорівнює

Звичайно, якщо вектори і перпендикулярні між собою, то

Приклад. Вектори і задані своїми координатами (2, -1, 2), (3, 0, 4). Знайти скалярний добуток цих векторів і кут між ними.

Розв’язання:

=2 ∙3 – 1 ∙0 + 2 ∙4 = 14;

Відповідь: =14; .

Векторний добуток.

Векторним добутком векторів і називається вектор , який визначається такими умовами:

1) його модуль дорівнює , де φ – кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний кожному з векторів і ;

3) вектор спрямований таким чином, щоб найкоротший оберт від до навколо вектора відбувався проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора .