2. Основи векторної алгебри
2.1. Поняття вектора
Розрізняють два види величин: скалярні і векторні.
Якщо деяка величина повністю визначається певним чином, то її називають скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, довжина, об’єм, площа, кількість, температура та ін. Скалярні величини є алгебраїчними величинами і з ними можна здійснювати будь-які алгебраїчні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення у ступінь.
Якщо при визначенні деякої величини крім числового значення треба знати і її напрямок, то така величина називається векторною. Прикладами таких величин є швидкість, прискорення, сила. Векторні величини зображуються за допомогою векторів.
Вектором називають спрямований відрізок, що має певну довжину, у якої одна з точок, що його обмежує, приймається за початок, а друга – за кінець. Якщо точка А – початок вектора, а точка В – його кінець, то вектор позначається символом і зображують його так
Вектор можна позначити й однією буквою, наприклад, . Тоді його зображення має вигляд
Довжина вектора називається його модулем і позначається символом .
Вектор називається нульовим, якщо його модуль дорівнює нулю. У такому векторі початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, його довжина дорівнює нулю, і позначається . Вектор , модуль якого дорівнює 1, називається одиничним. Вектори, які лежать на паралельних прямих чи на тій же прямій, називаються колінеарними. Наприклад, колінеарними є вектори , , , , що подані на малюнку.
Колінеарні вектори, які мають однаковий напрямок, називаються рівно спрямованими, а ті, що мають протилежні напрямки, – протилежно спрямованими.
Два вектори і називаються рівними, якщо
- рівні їхні модулі ;
- вони є рівно спрямованими.
У цьому разі пишуть .
Два вектори і називаються протилежними, якщо:
- рівні їхні модулі ;
- вони є протилежно спрямованими.
У цьому разі пишуть . Цілком зрозуміло, що .
2.2. Лінійні операції над векторами.
Лінійними операціями над векторами є операції додавання, віднімання векторів і множення вектора на число.
Додавання векторів.
Сумою двох векторів і називають третій вектор , який визначається відповідно до одного з правил:
Правило трикутника:
1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;
2) від його кінця A відкладаємо вектор ;
3) початок першого вектора з’єднується з кінцем другого;
Одержаний вектор є вектором , який дорівнює
Правило паралелограма.
1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;
2) від тієї ж точки відкладаємо вектор ;
3) побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограма OACB діагональ OC ;
4) вектор , що є діагоналлю цього паралелограма, є вектор , який є сумою векторів і : .
Властивості суми векторів :
1. Сума двох векторів має комутативну (переставну) властивість:
;
2. Сума векторів має асоціативну (поєднувальну) властивість:
.
Поняття суми векторів можна узагальнити на випадок довільної скінченої кількості векторів.
Сумою n векторів називають вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора за умови, що точка прикладання кожного наступного вектора збігається з кінцем попереднього. Наприклад, сумою векторів є вектор
Віднімання векторів.
Різницею двох векторів і називають третій вектор , який під час додавання з вектором дає вектор . Побудувати вектор можна за малюнком
B
Множення вектора на число.
Д
Два вектори і є колінеарними, якщо існують такі числа α і β, що має місце рівність .