Задача 1

Имеются данные о реализации картофеля на рынках города:

XРынки	1 квартал		2 квартал
	стоимость картоф., тыс. руб.	цена за 1 кг., руб	количество картоф., т.	цена за 1 кг., руб
1	200	5	170	6
2	250	5,5	150	6,2
3	400	5	200	5,8
4	600	4	250	5,5

Определить среднюю цену 1 кг. Картофеля в целом по всем рынкам в 1 квартале, во 2 квартале.

Решение:

Составляем формулу зависимости исходных данных:

, где

P – цена за 1 кг. картофеля, руб.

S – стоимость картофеля, т.

V – количество картофеля, т.

Исходя из этого P – варианта (Х); V – частота (F).

1. Рассчитываем среднюю цену за 1 квартал. Т. к. для 1 квартала задана стоимость картофеля, а по формуле это числитель, то для средней применяем формулу средней гармонической:

руб.

2. Рассчитываем среднюю цену для 2 квартала. Т. к. для 2 квартала задано количество картофеля, а по формуле, это знаменатель, то для средней применяем формулу средней арифметической взвешенной:

руб.

Средняя цена по всем 4 рынкам в 1 квартале составила 4,6 руб., а во 2 квартале – 5,82 руб.

3. Абсолютное отклонение составило:

руб.

На 1,22 руб. повысилась цена 1 кг. картофеля во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом.

4. Относительное отклонение (темп роста):

Во 2 квартале цена картофеля выросла на 27%.

Задача 2

Из общего числа (25000) вкладчиков сберегательных касс города произведено выборочное обследование 2000 вкладчиков, отобранных методом случайного бесповторного отбора. По результатам выборки построен следующий ряд распределения:

XГруппы по размеру вкладов	Всего вкладов	Из них рабочих, %
до 1000	100	10
1000-2000	250	30
2000-3000	500	25
3000-4000	550	15
4000-5000	300	10
5000-6000	200	5
свыше 6000	100	5
всего	2000	100

По этим данным установить пределы значения среднего всех вкладчиков с вероятностью 0,683; пределы значений доли рабочих среди вкладчиков с вероятностью 0,997. Вычислить показатели вариации, показатели центра и формы распределения. Изобразить ряд графически. Сделать выводы.

Решение:

Преобразуем рабочие вклады из интервального распределения в дискретное. Для этого надо найти определить среднее значение в каждом интервале (не забывая закрыть открытые интервалы – 0-1000 и 6000-7000).

Xx	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	всего
f	10	30	25	15	10	5	5	100

Теперь преобразуем в кумулятивное распределение, т.е. накопительное.

x	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5
s	100	350	850	1400	1700	1900	2000

Для графического изображения интервальных рядов используется гистограмма.

РИС 1

Видно, что наибольшая частота вкладов в группе вкладов от 3000 до 4000 руб.

Для графического изображения дискретного ряда применяют полигон распределения.

РИС 2

Кривая сумм (кумулята).

РИС 3

Средняя арифметическая взвешенная.

тыс. руб.

Составим таблицу, из которой будет удобно брать данные для последующих расчетов.

интервал	f	x	x*f				S
0-1	100	0,5	50	2,85	285	812,25	100
1-2	250	1,5	375	1,85	462,5	855,625	350
2-3	500	2,5	1250	0,85	425	361,25	850
3-4	550	3,5	1925	0,15	82,5	12,375	1400
4-5	300	4,5	1350	1,15	345	396,75	1700
5-6	200	5,5	1100	2,15	430	924,5	1900
6-7	100	6,5	650	3,15	315	992,25	2000
всего	2000		6700		2345	4355
средняя			3,35		1,1725	2,1775

Размах вариации.

Среднелинейное отклонение

тыс. руб.

Дисперсия.

тыс. руб.

Средне квадратическое отклонение.

Коэффициент осцилляции.

Относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации.

Размеры вкладов колеблются от 0 до 7000 руб., при этом размер среднего рабочего вклада равен 3350 руб. В среднем отклонение значений размера вклада от среднего составляет 1,1725 тыс. руб. Т. к. коэффициент вариации больше 25% (44,1%), то вариация сильная, совокупность неоднородная и средняя нетипична. В среднем отклонение квадратов значений размера вкладов от средней составляет 1,475635 тыс. руб. Если эмпирическое (фактическое) отклонение близко к нормальному, то между средним линейным отклонением существует соотношение:

1,475635 =1,25*1,1725 =1,465625

Соотношение практически выполняется.

Структурные показатели (показатели центра).

Мода.

тыс. руб.

Самая популярная варианта равна 3,17 тыс. руб., примерный ее диапазон можно увидеть по гистограмме и полигону.

Медиана.

тыс. руб.

Медину также можно определить по кумуляте и огиве. Это варианта показывает середину совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная.

тыс. руб.

Асимметрия.

3,17<3,273<3,35

Мо<Ме<

Асимметрия правосторонняя.

РИС 4

Эксцесс.

Вершина пологая, ниже нормального распределения.

РИС 5

Находим пределы значений доли рабочих вкладов среди вкладчиков с вероятностью 0,997.

Рассчитываем сколько при выборке было обнаружено рабочих вкладов. Для этого % переводим в штуки.

Группы по размеру вкладов	Всего вкладов	Из них рабочих, %
до 1000	100	10
1000-2000	250	75
2000-3000	500	125
3000-4000	550	82,5
4000-5000	300	30
5000-6000	200	10
свыше 6000	100	5
всего	2000	337,5

Устанавливаем доверительный интервал для альтернативного признака.

_{Предельная ошибка выборки}

_{- коэффициент доверия. Это табличное значение, находится по таблицам Лапласа. При вероятности 0,997 коэффициент доверия равен 2,97.}

_{Средняя ошибка выборки для альтернативного признака при бесповторном отборе.}

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что возможные пределы доли рабочих вкладов будут находиться в генеральной совокупности от 14,5% до 19,3%.

Устанавливаем пределы значения среднего всех вкладов с вероятностью 0,683.

Доверительный интервал:

_{Выборочная средняя:}

Предельная ошибка выборки для количественного признака:

_{Средняя ошибка выборки:}

Для нахождения выборочной средней и дисперсии составим таблицу:

интервал	f	x	x*f
0-1	100	0,5	50	2,85	285	812,25
1-2	250	1,5	375	1,85	462,5	855,625
2-3	500	2,5	1250	0,85	425	361,25
3-4	550	3,5	1925	0,15	82,5	12,375
4-5	300	4,5	1350	1,15	345	396,75
5-6	200	5,5	1100	2,15	430	924,5
6-7	100	6,5	650	3,15	315	992,25
всего	2000		6700		2345	4355
средняя			3,35		1,1725	2,1775

По таблице Лапласа коэффициент доверия при вероятности 0,683 равен 1.

_{С вероятностью 0,683 можно утверждать, что среднее значение всех вкладчиков будет колебаться от 3,349 тыс. руб. до 3,351 тыс. руб.}

Задача 3

Имеются следующие данные о товарообороте по трем товарным группам за два периода:

XТовары	Товарооборот, тыс. руб.		Изменение цен в отчетном по сравнению с базисным, %
	базисный	отчетный
А	930	970	-4
В	300	450	6
С	190	165	без изменения

Вычислить индивидуальные и общие индексы цен.

Решение:

Введем в таблицу еще один столбец и добавим буквенное обозначение для столбцов:

X	p*q		p
Товары	Товарооборот, тыс. руб.		Изменение цен в отчетном по сравнению с базисным, %	темп роста цены в долях
	базисный	отчетный
А	930	970	-4	0,96
В	300	450	6	1,06
С	190	165	без изменения	1

p – цена, руб.

q – количество (объем), шт.

p*q – товарооборот, тыс. руб.

Индивидуальные индексы по цене для каждого вида товара по сути у нас уже рассчитаны в новом столбце

Индивидуальные индексы товарооборота для каждого вида товара:

Существует взаимосвязь индексов:

Следовательно, мы можем рассчитать индивидуальные индексы физического объема продаж каждого товара:

Рассчитаем общий индекс товарооборота:

1 – отчетные показатели

0 – базисные показатели

Это говорит о том, что общий товарооборот увеличился на 11,6% в отчетном периоде по сравнению с базисным. Чтобы определить, влияние каких факторов (цены или объема) как сказалось на изменении товарооборота, надо рассчитать общие индексы цены и количества .

Следовательно, в среднем цена товаров А, В, С снизилась на 1% (за счет снижения на 4% цены товара А)

тыс. руб.

Что повлекло за собой снижение товарооборота на 14,93 тыс. руб.

тыс. руб.

Изменение количества проданных товаров А, В, С (+12,7%) по сравнению с прошлым годом повлекло за собой увеличение товарооборота на 179,93 тыс. руб.

Суммарное влияние цены и количества =0,99*1,127=1,116, что соответствует рассчитанному и говорит о том, сто изменение p и q в отчетном периоде увеличило в общем товарооборот на 11,6% или в абсолютном эквиваленте на 165 тыс. руб.