МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, естественных наук и информационных технологий

Кафедра математики и информатики

Курсовая работа

По дисциплине: «Математический анализ»

На тему:

Теорема Хана - Банаха.

Выполнила: студентка 303-1 группы

Захарова Дарья

Проверила: доцент

Кафедры МиИ

Салтанова Т. В.

Тюмень, 2011.

Оглавление

Введение 3

1. Основные понятия и определения, используемые в теореме Хана – Банаха. 8

2. Теорема Хана - Банаха. 9

Заключение 10

Список использованной литературы 11

Введение

Математика — самое прекрасное и самое мощное изобретение человеческого духа. Математика такая же древняя, как и сам человек.

Стефан Банах, польский математик

Во Львове в начале 1920-х гг. собралась большая группа талантливых математиков. Перечень их имен — золотой список этой науки. Среди них звездами первой величины были Гуго Штейнхауз и Стефан Банах. Обоих связывали не только научные интересы, но и долгая личная дружба.

Стефан Банах, родился 30 марта 1892 г. в Кракове в семье Стефана Гречека и Катаржины Банах. Семья была настолько бедной, что содержать ребенка не могла, поэтому юные годы Стефан провел у бабашки, матери отца. О матери отец никогда не рассказывал, несмотря на неоднократные просьбы сына. Однако он обещал ей дать возможность ему закончить гимназию. Математические способности проявились еще во время учебы, но одаренным учеником он не считался. Значился среди детей с «обычными способностями». Наверное, сказалась система преподавания, не раскрывающая способностей и наклонностей учеников. К сожалению, Банах в этом отношении был не одинок. Впрочем, можно привести и противоположные примеры.

Для продолжения образования Банах приехал во Львов, где поступил в Политехнический институт. Приходилось не столько учиться, сколько зарабатывать себе на жизнь. Только в 1914 г. ему удалось сдать экзамены за так называемый полудиплом об окончании двух курсов. На этом его формальное образование окончилось. Годы Первой мировой войны Банах провел в Кракове, занимаясь репетиторством. Не очень понятно, какова была бы его судьба как математика, если бы не его величество случай.

Весной 1916 г., прогуливаясь по улочкам прекрасного города, Гуго Штейнхауз, которому тогда было 29 лет и он уже был известным ученым, услышал беседу двух молодых людей. Его внимание привлекли слова «мера Лебега и интеграл Лебега». В то время обсуждение таких проблем свидетельствовало о серьезном знании новых разделов математики. Молодыми людьми оказались Стефан Банах и Отто Никодим, тоже будущий известный математик, живший и работавший во Львове. В своих воспоминаниях Гуго Штейнхауз писал, что «самым большим открытием его жизни стал Стефан Банах». Задача, которую перед молодым математиком поставил Гуго, была решена и представлена научному миру в виде статьи двух авторов. По рекомендации Штейнхауза в 1920 г. профессор Львовской политехники Антон Ломницкий пригласил Банаха ассистентом на кафедру математики. В том же году он написал докторскую диссертацию по функциональному анализу. С 1922 г. Стефан Банах начинает работать во Львовском университете. Сначала «чрезвычайным (экстраординарным) профессором», а затем — «обычным (ординарным) профессором». И это несмотря на то, что он не имел законченного высшего образования. В это время и сам Штейнхауз вместе с профессорами Жилинским и Рузевичем преподавал там. В 1924 г. Стефан Банах был избран членом-корреспондентом Польской академии наук, а позже членом-корреспондентом АН Украины.

Как вспоминал польский и американский математик Станислав Улам, «живые» представления о математиках он получил в 1926 г. на публичных лекциях во Львове, которые читали Штейнхауз, Рузевич, Банах и др. Самому Уламу тогда было 16 лет, но его поразила молодость уже известных ученых. В его представлении профессора математики должны были быть убеленными сединами пожилыми людьми. Откройте любой учебник или монографию по функциональному анализу (раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства, в основном пространства функций, и их отображения) — то буквально на каждой странице вы встретите «пространство Банаха», «оператор Банаха», «теорему Хана-Банаха», «теорему Штейнхауза-Банаха», всего и не перечислить. Его методы и идеи оказали огромное влияние на развитие этого важнейшего раздела математики. Они не только не утратили своего значения в наше время, а наоборот, приобретают все большее. Классическая работа Банаха «Теория линейных операций» была издана на польском языке в 1931 г., в 1933 г. на французском и в 1948 г. под названием «Курс функціонального аналізу» — на украинском. На русском языке известен его курс «Дифференциальное и интегральное исчисление», 1966 г.

Уже того, что мы в минимальной степени перечислили, вполне достаточно, чтобы имя Банаха вошло в историю науки. Но не меньшей его заслугой стало то, что вокруг него и Штейнхауза сформировалось уникальное содружество львовских и не только математиков — львовская математическая школа.

С ней связан уникальный и волнующий эпизод в жизни великих ученых. Как вспоминал Станислав Улам, они собирались сначала недалеко от университета, в Римском кафе. Играли в шахматы, пили кофе и пиво, но главное — рассуждали о математике. Формулы записывали химическими карандашами на поверхности столиков. Уже в Америке Улам завел такой же обычай, когда работал в Лос-Аламосе. Только вместо столиков кафе они писали на досках мелом. Хозяину такое использование оборудования не нравилось, поэтому компания перебралась напротив, в «Шотландское кафе» (Kawiarnia Szkocka). Кафе находилось на улице Академической, ныне проспект Шевченко. Оно не сохранилось, теперь в этом помещении Universal bank. Жаль, что такое историческое место не отмечено мемориальной доской. Городу Львову есть чем гордиться.

В Шотландском кафе история повторилась. Химические карандаши портили мраморные столики, на что хозяин кафе пожаловался жене Банаха пани Луции. То ли она, то ли сам пан Стефан приобрели и принесли в кафе большую конторскую книгу. В советские времена такие назывались амбарными. На нечетных страницах формулировались нерешенные задачи, а напротив, на четной странице, их решения. Причем обсуждение и решение проходили там же, в кафе.

Однажды математики говорили более 17-ти часов непрерывно, так их захватило решение одной из задач. Книга получила название Шотландской. Когда кафе закрывалось, ее передавали хозяину, который очень бережно к ней относился. Наверное, понимал ее историческую ценность.

Штейнхауз рассказывал, что стол, за которым сидели Банах с Уламом, находился в центре кафе. Обсуждали все, от театральных постановок до международного положения. Чтобы побеседовать с ними, часто приходил знаменитый математик Казимир Куратовский, который в 1927—1933 гг. преподавал во Львовской политехнике. Его наиболее значительные результаты были получены в топологии (вложение Куратовского, веер Кнастера-Куратовского, теорема Куратовского). Чтобы обсудить с коллегами наиболее важные проблемы, специально во Львов приезжал основатель варшавской математической школы Вацлав Серпинский и выдающийся математик Джон (Янош) фон Нейман.

Именно в кафе было получено доказательство теоремы Банаха. К сожалению, Шотландской книги еще не было, доказательство было записано на поверхности столика и стерто швейцаром. Пока никто не может его восстановить. Такая же судьба постигла многие другие важные результаты, полученные Банахом и его учениками. С одной стороны, им не хватало времени записывать теоремы и их доказательства. С другой — решенная задача теряла привлекательность, но порождала новую проблему, и все устремлялись на ее решение. Основным было устное общение, статьи и приоритеты — вторичное. Когда появилась книга, ситуация стала более упорядоченной.

В качестве вознаграждения за решение очень сложной задачи предлагались, например, пять малых кружек пива, вино, ужин в ресторане фешенебельного отеля «Жорж», а за самую сложную, предложенную близким другом Банаха — Станиславом Мазуром, автор определил гуся... Эта проблема (под номером 153, от 6 ноября 1936 г.), была решена только в 1972 г. шведским математиком Пером Энфло, он же и получил в Варшаве обещанную награду. Призового гуся ему приготовила жена польского математика Жиляско.

Всего в «Шотландской книге» было зафиксировано 193 математические проблемы. Банах записал там 14 задач (и еще одиннадцать совместно с Мазуром и Уламом), Улам — сорок (плюс 15 общих), Мазур — 24 (и еще 19 общих). Первая запись была сделана 17 июля 1935 г., а последняя 31 марта (по данным Улама, 31 мая) 1941 г. Кстати, эта запись под номером 193 содержит набор не очень ясных результатов за подписью Штейнхауза, связанных с распределением количества спичек в коробке. Эта задача родилась из на первый взгляд бытовой проблемы. Банах был заядлым курильщиком. Чтобы не искать спички, он в левом и правом карманах держал по коробку, которые доставал случайным образом. Возникла задача: какова вероятность то, что когда в одном коробке кончатся спички, во втором их останется к штук, в более общем случае — не менее к штук. Решение задачи не такое простое, как кажется на первый взгляд. Не случайно записи Штейнхауза довольно трудно было разобрать. Интересно, что это одна из первых задач, приведших к возникновению новой математической дисциплины — теории массового обслуживания. Подобные задачи встречаются в теории игр, в физике, теории алгоритмов, математической лингвистике, электроэнергетике и т.д. У великих все так. Даже их бытовые проблемы двигают науку вперед.

В «Шотландском кафе» часто бывал украинский математик Мирон Зарицкий. Его научные интересы охватывали проблемы теории множеств, алгебры логики и теории функций действительного переменного. Кроме того, он оставил труды по истории науки: «Астрономия в древности» (1935 г., на польском языке), хрестоматия греческой математики (1936 г., на польском языке), статья «Замечания к проблеме приближенных вычислений в греческой математике» (1947 г.). Владел иностранными языками, кроме украинского, польского, немецкого (которые знал каждый львовский интеллигент), также французским, идиш, ивритом. Печатал свои статьи на итальянском и испанском языках. Именно он в 1948 г. перевел с французского на украинский «Курс функціонального аналізу» Банаха.

Когда летом 1939 г. Улам последний раз был во Львове (он тогда уже работал в Гарварде), с Мазуром обсуждалась вероятность начала новой войны. Мазур сказал: «Должно быть, начнется война. Что мы будем делать с Шотландской книгой и нашими неопубликованными работами? Ты уезжаешь в Соединенные Штаты и, вероятно, будешь в безопасности. Если город будут бомбить, я положу книгу и рукописи в ящик и зарою его в землю». Тогда же они условились, что он зароет ящик у ворот вратаря на футбольном поле. Долгое время книга считалась утерянной, но сын Банаха нашел ее и в 1957 г. копию переслал Уламу. Тот сделал перевод на английский язык и представил на Математическом конгрессе в 1958 г., где она стала сенсацией. Традиции Шотландской книги продолжаются. С 1945 г. в ней делаются новые записи.

После войны оригинал книги перешел к жене Банаха, а позже — сыну. В 1980-х гг. она была передана в Институт математики Польской академии наук и хранится в Центре Банаха. В 1981 г. появилась ее вторая, отредактированная версия, в которой отображено состояние внесенных в книгу математических проблем, их развитие и решения за последующие годы. Издание дополнено историческими комментариями.

Когда Красная армия заняла Львов, на математиках это мало отразилось. Лекции можно было читать на польском, украинском, русском языках. Но между кафедрами было приказано начать социалистическое соревнование по количеству новых формул, публикаций, изобретений. В математических книгах стали обязательными предисловия касающихся Сталина, Маркса, Энгельса, Ленина и их великого вклада в функции, матрицы, множества, в интегралы и дифференциалы, n-мерные пространства и т.д. Сталин — вдохновитель изобретателей, всеведущий и гений в любой области знаний — должен был быть признан величайшим авторитетом и в математике. «Вы не расстраивайтесь, у вас это только сейчас, а у нас всю жизнь так», — утешал Штейнхауза один из советских математиков, который приехал во Львов на конференцию. Как обычно, нашлись и те, кто пошел на сотрудничество с новой властью. Леон Хвистек, философ и математик с 1930 г. преподавал во Львовском университете и активно сотрудничал с советскими властями, в частности, с просоветской газетой Czerwony Sztandar. Опубликовал несколько текстов, славящих советскую власть и Сталина. В июне 1941 г. эвакуировался из Львова вместе с советскими войсками. В 1941—1943 гг. преподавал математику в Тбилиси, затем в Москве. Принимал участие в работе коммунистического Союза польских патриотов. Умер в 1944 г. в советской столице.

Разгром наступил в период немецкой оккупации. Среди математиков было много евреев, и их судьба была трагической. Над Банахом страшно издевались. Его фашисты использовали как источник крови для вшей. Так готовили противотифозную вакцину. После освобождения Банах снова стал деканом математического факультета, но в августе 1945 г. умер. Похоронен на Лычаковском кладбище.

В конце июня 1941 г. Штейнхауз отдает знакомым свой польский паспорт и превращается в крестьянина. Он изменяет внешность так, чтобы «стать похожим на костельного органиста» и переезжает в расположенную под Львовом деревню Зимна Вода, а точнее, в самую безлюдную ее часть — в Осичину. Там, вместе с женой они ведут нищенское существование, радуясь, однако, что удалось спасти жизнь. Всю немецкую оккупацию Штейнхауз проводит в деревне, собирая в лесу хворост и не обращаясь ни в какие органы. У него нет продуктовых карточек, нет талонов на какие-то товары первой необходимости. С 1943 г. он тайно дает уроки французского языка, географии и, конечно, математики.

Штейнхауз войну пережил, однако потерял многих своих родственников. А наследие львовской математической школы возродилось в Варшаве и во Вроцлаве. Штейнхауз вспоминал потом, что при советском режиме он написал, собственно, только одну математическую работу — из-за глупости советских чиновников, при немцах же — ни одной, из-за постоянного страха за свою жизнь и призрака уничтожения.

Все познается в сравнении. В период расцвета Львовской математической школы, свободных дискуссий математиков не только по научным проблемам, в Москве развертывалась драма советской математики. В начале 1930-х гг. боролись с профессором Егоровым — егоровщина. Через 6 лет наступила очередь его ученика Николая Лузина. Катком прокатилась по стране лузинщина. Станислав Улам вспоминал, что на встрече в Цюрихе будущий академик Павел Александров пригласил его побывать в Москве. Но советское консульство во Львове не выдало ему визу. Наверное из-за сотрудничества с «реакционным» профессором Серпинским — другом Лузина.

Львовская математическая школа — это наша большая история. Ее творят не только политики и полководцы, но и великие ученые, хотя об их достижениях люди, к сожалению, знают крайне мало. Город Ивана Франко — он и город Стефана Банаха, и Гуго Штейнхауза. Они — гордость Украины и Польши. И нашей общей истории.

История создания теоремы